中考数学解题方法及提分突破训练:反证法专题(含解析).doc
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1、 解题方法及提分突破训练:反证法专题对于一个几何命题,当用直接证法比较困难时,则可采用间接证法,反证法就是一种间接证法,它不是直接去证明命题的结论成立,而是去证明命题结论的反面不能成立。从而推出命题的结论必然成立,它给我们提供了一种可供选择的新的证题途径,掌握这种方法,对于提高推理论证的能力、探索新知识的能力都是非常必要的。 一 真题链接1.用反证法证明:圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。已知:如图,在O中,弦AB、CD交于点P,且AB、CD不是直径.求证:弦AB、CD不被P平分.2.平面内有四个点,没有三点共线, 证明:以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形3. 平面内有四个点,
2、没有三点共线证明:以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形 二 名词释义反证法是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤,大体上分为:(1)反设;(2)归谬;(3)结论。 反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;
3、至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n一1)个;至多有一个/至少有两个;唯一/至少有两个。 归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。例如:已知:是整数,2能整除。试证:2能整除 探究:问题实际上是在讨论是奇数,还是偶数。已知中:说明是偶数,则,此时 反思:条件已用完,结论还不能明确得证,可能结论自身有问题。 若结论有问题,则“2不能整除”应该成立,此时会发生怎样的情况,进行推理引出反证法。 总结:在上题由“2不能
4、整除”这个假设下,推理出了矛盾,肯定了原题的结论,从而说明了这种思想可以作为一种证明问题的方法,再通过问题2继续认识。 三 典型例题反证法的证题步骤: 假设。假设结论的反面成立,重点完成对假设的等价转化 归结矛盾。矛盾来源:与已知,定理,公理,已证,已作,矛盾。 否定假设,肯定结论。例1.求证:是无理数 证明:假设不是无理数,即是有理数,那么它就可以表示成两个整数之比,设且互素,则。所以,。-故是偶数,也必然为偶数。不妨设,代入式,则有,即 ,所以,也为偶数。和都是偶数,它们有公约数2,这与互素相矛盾。这样,不是有理数,而是无理数。PMQcab例2.在同一平面内,两条直线都和直线垂直。求证:与
5、平行。证明:假设命题的结论不成立,即“直线与相交”。不妨设直线的交点为,与的交点分别为,如图所示,则.这样,的内角和 这与定理“三角形的内角和等于”相矛盾。说明假设不成立。所以,直线与不相交,即与平行。例3已知:在四边形ABCD中,M、N分别是AB、DC的中点,且MN(ADBC)。求证:ADBC 证明:假设ADBC,连结ABD,并设P是BD的中点,再连结MP、PN。 在ABD中BMMA,BPPDMPAD,同理可证PNBC从而MPPN(ADBC)这时,BD的中点不在MN上若不然,则由MNAD,MNBC,得ADBC与假设ADBC矛盾,于是M、P、N三点不共线。从而MPPNMN由、得(ADBC)MN
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