中考数学解题方法及提分突破训练:韦达定理及应用专题(含解析).doc
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1、 解题方法及提分突破训练:韦达定理及应用专题韦达,1540年出生于法国的波亚图,早年学习法律,但他对数学有浓厚的兴趣,常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人,他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用,使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩,称他为“代数学之父”。 历史上流传着一个有关韦达的趣事:有一次,荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王,比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达,韦达当即得出一正数解,回去后很快又得出了另外的22个正数解(他舍弃了另外的22个负数解)。消息传开,数学界为之震惊。同时,
2、韦达也回敬了罗门一个问题,罗门一时不得其解,冥思苦想了好多天才把它解出来。韦达研究了方程根与系数的关系,在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。你能利用韦达定理解决下面的问题吗? 一 真题链接1.(2012兰州)若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c(a0)的两个根,则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系:x1+x2=- x1x2=把它称为一元二次方程根与系数关系定理如果设二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴的两个交点为A(x1,0),B(x2,0)利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为:参考以上定理和结论,解答下列问题:设二次函数y=
3、ax2+bx+c(a0)的图象与x轴的两个交点A(x1,0),B(x2,0),抛物线的顶点为C,显然ABC为等腰三角形(1)当ABC为直角三角形时,求b2-4ac的值;(2)当ABC为等边三角形时,求b2-4ac的值2.(2010娄底)阅读材料:若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1,x2,则两根与方程系数之间有如下关系:根据上述材料填空:已知x1,x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根,则3.已知关于x的方程x2+2(a-1)x+a2-7a-b+12=0有两个相等的实数根,且满足2a-b=0利用根与系数的关系判断这两根的正负情况若将y=x2+2(a-1)x+a2-7a-b+1
4、2图象沿对称轴向下移动3个单位,写出顶点坐标和对称轴方程4.设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,则两根与方程系数之间有如下关系:根据该材料填空:若关于x的一元二次方程x2+kx+4k2-3=0的两个实数根分别是x1,x2,且满足x1+x2=x1x2则k的值为二 名词释义一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R,a0)根的判别,=b2-4ac,不仅用来判定根的性质,而且作为一种解题方法,在代数式变形,解方程(组),解不等式,研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。 求代数式的值 求待定系数一元二次 韦达定理 应用 构造方程方程的求 解特殊的二元二次方程组根公式
5、 二次三项式的因式分解 根系关系的三大用处(1)计算对称式的值例 若是方程的两个根,试求下列各式的值:(1) ;(2) ;(3) ;(4) 解:由题意,根据根与系数的关系得:(1) (2) (3) (4) 说明:利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以下等式变形:,等等韦达定理体现了整体思想(2)构造新方程理论:以两个数为根的一元二次方程是。例 解方程组 x+y=5Xy=6 解:显然,x,y是方程z2-5z+60 的两根由方程解得 z1=2,z2=3原方程组的解为 x1=2,y1=3 x2=3,y2=2显然,此法比代入法要简单得多。(3)定性判断字母系数的取值范围例 一个三角形的两边长是方程的两根
6、,第三边长为2,求k的取值范围。解:设此三角形的三边长分别为a、b、c,且a、b为的两根,则c=2由题意知k2-4220,k4或k-4 为所求。三 典题示例例1 已知关于的方程,根据下列条件,分别求出的值(1) 方程两实根的积为5;(2) 方程的两实根满足分析:(1) 由韦达定理即可求之;(2) 有两种可能,一是,二是,所以要分类讨论解:(1) 方程两实根的积为5 所以,当时,方程两实根的积为5(2) 由得知:当时,所以方程有两相等实数根,故;当时,由于 ,故不合题意,舍去综上可得,时,方程的两实根满足说明:根据一元二次方程两实根满足的条件,求待定字母的值,务必要注意方程有两实根的条件,即所求
7、的字母应满足例2 已知是一元二次方程的两个实数根(1) 是否存在实数,使成立?若存在,求出的值;若不存在,请您说明理由(2) 求使的值为整数的实数的整数值解:(1) 假设存在实数,使成立 一元二次方程的两个实数根 , 又是一元二次方程的两个实数根 ,但 不存在实数,使成立 (2) 要使其值是整数,只需能被4整除,故,注意到,要使的值为整数的实数的整数值为说明:(1) 存在性问题的题型,通常是先假设存在,然后推导其值,若能求出,则说明存在,否则即不存在 (2) 本题综合性较强,要学会对为整数的分析方法 四 巩固强化1. (2011湖北潜江,17,6分)若关于x的一元二次方程x24xk30的两个实
8、数根为x1、x2,且满足x13x2,试求出方程的两个实数根及k的值2. (2011南充,18,8分)关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2(1)求k的取值范围;(2)如果x1+x2x1x21且k为整数,求k的值3. (2011湖南张家界,23,8)阅读材料:如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根,那么, ,这就是著名的韦达定理现在我们利用韦达定理解决问题:已知m与n是方程2x26x+3=0的两根(1)填空:m+n= ,mn= ;(2)计算的值4. (2011湖北孝感,22,10分)已知关于x的方程x22(k1)x+k2=0有两个实数根x1,x2(1
9、)求k的取值范围;(2)若|x1+x2|=x1x21,求k的值5. (2011玉林,20,6分)已知:x1、x2是一元二次方程x24x+1的两个实数根求:(x1+x2)2()的值6. (2011贵州遵义,24,10分)有四张卡片(背面完全相同),分别写有数字1、2、1、2,把它们背面朝上洗匀后,甲同学抽取一张记下这个数字后放回洗匀,乙同学再从中抽出一张,记下这个数字,用字母b、c分别表示甲、乙两同学抽出的数字。(1)用列表法求关于的方程有实数解的概率;(2)求(1)中方程有两个相等实数解的概率。7.(2011广西防城港 20,6分)已知:x1、x2是一元二次方程x24x10的两个实数根求(x1
10、x2)2的值8. (2011湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田,17,6分)若关于x的一元二次方程的两个实数根为、,且满足,试求出方程的两个实数根及k的值. 9. (2011江苏苏州,15,3分)巳知a、b是一元二次方程x22x1=0的两个实数根,则代数式(ab)(a+b2)+ab的值等于_10. (2011江苏镇江常州,12,3分)已知关于x的方程x2+mx6=0的一个根为2,则m=,另一个根是11. (2011山东日照,14,4分)如图,在以AB为直径的半圆中,有一个边长为1的内接正方形CDEF,则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是如:x2x+1=012. (2011德州,14,4分)若x
11、1,x2是方程x2+x1=0的两个根,则x12+x22= 13.(2011四川眉山,17,3分)已知一元二次方程y23y+1=0的两个实数根分别为y1、y2,则(y11)(y21)的值为114. (2011四川泸州,16,3分)已知关于x的方程x2+(2k+1)x+k22=0的两实根的平方和等于11,则k的值为 15. (2011四川遂宁,12,4分)若x1、x2是方程x22x5=0的两根,则x12+x1x2+x22=五 参考答案真题链接答案:1.2.3.解:由=4(a2-3)2-4(a2-7a-b+12)=0得:a+b-3=0,又2a-b=0,a=1,b=2设这个方程的解为x1、x2,则x1
12、+x2=-2(a-3)=40,x1x2=a2-7a-b+12)=40,x1、x2均为正根;a=1,b=2,y=x2+2(a-1)x+a2-7a-b+12可化为:y=x2-4x+4=(x-2)2,将此图象向下移动3个单位,得:y=(x-2)2-3,顶点(2,-3),对称轴为x=24.巩固强化答案1.考点:根与系数的关系。专题:方程思想。分析:根据根与系数的关系(x1x2,x1x2)列出等式,再由已知条件“x13x2”联立组成三元一次方程组,然后解方程组即可解答:解:由根与系数的关系,得x1x24 ,x1x2k3 (2分)又x13x2 ,联立、,解方程组得(4分)kx1x233136(5分)答:方
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