中考数学试卷分类汇编:解直角三角形(含答案).doc
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1、 解直角三角形一、选择题1. (2014浙江杭州,第3题,3分)在直角三角形ABC中,已知C=90,A=40,BC=3,则AC=()A3sin40B3sin50C3tan40D3tan50考点:解直角三角形分析:利用直角三角形两锐角互余求得B的度数,然后根据正切函数的定义即可求解解答:解:B=90A=9040=50,又tanB=,AC=BCtanB=3tan50故选D点评:本题考查了解直角三角形中三角函数的应用,要熟练掌握好边角之间的关系2. (2014浙江杭州,第10题,3分)已知ADBC,ABAD,点E,点F分别在射线AD,射线BC上若点E与点B关于AC对称,点E与点F关于BD对称,AC与
2、BD相交于点G,则()A1+tanADB=B2BC=5CFCAEB+22=DEFD4cosAGB=考点:轴对称的性质;解直角三角形分析:连接CE,设EF与BD相交于点O,根据轴对称性可得AB=AE,并设为1,利用勾股定理列式求出BE,再根据翻折的性质可得DE=BF=BE,再求出BC=1,然后对各选项分析判断利用排除法求解解答:解:如图,连接CE,设EF与BD相交于点O,由轴对称性得,AB=AE,设为1,则BE=,点E与点F关于BD对称,DE=BF=BE=,AD=1+,ADBC,ABAD,AB=AE,四边形ABCE是正方形,BC=AB=1,1+tanADB=1+=1+1=,故A选项结论正确;CF
3、=BFBC=1,2BC=21=2,5CF=5(1),2BC5CF,故B选项结论错误;AEB+22=45+22=67,在RtABD中,BD=,sinDEF=,DEF67,故C选项结论错误;由勾股定理得,OE2=()2()2=,OE=,EBG+AGB=90,EGB+BEF=90,AGB=BEF,又BEF=DEF,4cosAGB=,故D选项结论错误故选A点评:本题考查了轴对称的性质,解直角三角形,等腰直角三角形的判定与性质,正方形的判定与性质,熟记性质是解题的关键,设出边长为1可使求解过程更容易理解3. (2014江苏苏州,第9题3分)如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=4km,某船从港口A出发
4、,沿北偏东15方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60的方向,则该船航行的距离(即AB的长)为()A4kmB2kmC2kmD(+1)km考点:解直角三角形的应用-方向角问题分析:过点A作ADOB于D先解RtAOD,得出AD=OA=2,再由ABD是等腰直角三角形,得出BD=AD=2,则AB=AD=2解答:解:如图,过点A作ADOB于D在RtAOD中,ADO=90,AOD=30,OA=4,AD=OA=2在RtABD中,ADB=90,B=CABAOB=7530=45,BD=AD=2,AB=AD=2即该船航行的距离(即AB的长)为2km故选C点评:本题考查了解直角三角形的应用
5、方向角问题,难度适中,作出辅助线构造直角三角形是解题的关键4. (2014山东临沂,第13题3分)如图,在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15方向的A处,若渔船沿北偏西75方向以40海里/小时的速度航行,航行半小时后到达C处,在C处观测到B在C的北偏东60方向上,则B、C之间的距离为()A20海里B10海里C20海里D30海里考点:解直角三角形的应用-方向角问题分析:如图,根据题意易求ABC是等腰直角三角形,通过解该直角三角形来求BC的长度解答:解:如图,ABE=15,DAB=ABE,DAB=15,CAB=CAD+DAB=90又FCB=60,CBE=FCB,CBA+ABE=CBE,C
6、BA=45在直角ABC中,sinABC=,BC=20海里故选:C点评:本题考查了解直角三角形的应用方向角问题解题的难点是推知ABC是等腰直角三角形5(2014四川凉山州,第5题,4分)如图,河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:,堤高BC=10m,则坡面AB的长度是( )A15mB20mC20mD10m 考点:解直角三角形的应用坡度坡角问题分析:在RtABC中,已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值,通过解直角三角形即可求出斜面AB的长解答:解:RtABC中,BC=10m,tanA=1:;AC=BCtanA=10m,AB=20m故选C点评:此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力,熟练
7、运用勾股定理是解答本题的关键 2.3.4.5.6.7.8.二、填空题1. (2014上海,第12题4分)已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1:2.4,如果它把物体送到离地面10米高的地方,那么物体所经过的路程为26米考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题专题:应用题分析:首先根据题意画出图形,根据坡度的定义,由勾股定理即可求得答案解答:解:如图,由题意得:斜坡AB的坡度:i=1:2.4,AE=10米,AEBD,i=,BE=24米,在RtABE中,AB=26(米)故答案为:26点评:此题考查了坡度坡角问题此题比较简单,注意掌握数形结合思想的应用,注意理解坡度的定义2. (2014山东潍坊,第1
8、7题3分)如图,某水平地面上建筑物的高度为AB,在点D和点F处分别竖立高是2米的CD和EF,两标杆相隔52米,并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内,从标杆CD后退2米到点G处,在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上;从标杆FE后退4米到点H处,在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上,则建筑物的高是 米考点:解直角三角形的应用仰角俯角问题分析:根据ABCDFE,可得ABGCDG,ABHEFH,可得CD:AB=DG:BG, EF:AB=FH:BH,即可求得AB的值,即可解题解答:ABGCDG,CD:AB=DG:BG CD=DG=2, AB=BGABHEFH,EF:AB
9、=FH:BH,EF=2,FH=4 BH=2AB BH=2BG=2GHGH=DHDG=DF=FHDG=522+4=54,AB=BG=GH=54.故答案为:54点评:本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质,考查了平行线定理,本题中列出关于GH、BH的关系式并求解是解题的关键3(2014湖南怀化,第13题,3分)如图,小明爬一土坡,他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米,此时,他离地面高度为h=2米,则这个土坡的坡角A=30考点:解直角三角形的应用-坡度坡角问题分析:直接利用正弦函数的定义求解即可解答:解:由题意得:AB=4米,BC=2米,在RtABC中,sinA=,故A=30,故答案为:30点
10、评:本题考查了解直角三角形的应用,牢记正弦函数的定义是解答本题的关键落千丈4(2014四川内江,第23题,6分)如图,AOB=30,OP平分AOB,PCOB于点C若OC=2,则PC的长是考点:含30度角的直角三角形;勾股定理;矩形的判定与性质专题:计算题分析:延长CP,与OA交于点Q,过P作PDOA,利用角平分线定理得到PD=PC,在直角三角形OQC中,利用锐角三角函数定义求出QC的长,在直角三角形QDP中,利用锐角三角函数定义表示出PQ,由QP+PC=QC,求出PC的长即可解答:解:延长CP,与OA交于点Q,过P作PDOA,OP平分AOB,PDOA,PCOB,PD=PC,在RtQOC中,AO
11、B=30,OC=2,QC=OCtan30=2=,APD=30,在RtQPD中,cos30=,即PQ=DP=PC,QC=PQ+PC,即PC+PC=,解得:PC=故答案为:点评:此题考查了含30度直角三角形的性质,锐角三角函数定义,熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键5.6.7.8.三、解答题1. (2014四川巴中,第27题9分)如图,一水库大坝的横断面为梯形ABCD,坝顶BC宽6米,坝高20米,斜坡AB的坡度i=1:2.5,斜坡CD的坡角为30,求坝底AD的长度(精确到0.1米,参考数据:1.414,1.732提示:坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)考点:解直角三角形的应用分析:过梯形上
12、底的两个顶点向下底引垂线,得到两个直角三角形和一个矩形,利用相应的性质求解即可解答:作BEAD,CFAD,垂足分别为点E,F,则四边形BCFE是矩形,由题意得,BC=EF=6米,BE=CF=20米,斜坡AB的坡度i为1:2.5,在RtABE中,BE=20米,=,AE=50米在RtCFD中,D=30,DF=CFcotD=20米,AD=AE+EF+FD=50+6+2090.6(米)故坝底AD的长度约为90.6米点评:本题考查了坡度及坡角的知识,解答本题的关键是构造直角三角形和矩形,注意理解坡度与坡角的定义2. (2014山东枣庄,第21题8分)如图,一扇窗户垂直打开,即OMOP,AC是长度不变的滑
13、动支架,其中一端固定在窗户的点A处,另一端在OP上滑动,将窗户OM按图示方向想内旋转35到达ON位置,此时,点A、C的对应位置分别是点B、D测量出ODB为25,点D到点O的距离为30cm(1)求B点到OP的距离;(2)求滑动支架的长(结果精确到1cm参考数据:sin250.42,cos250.91,tan250.47,sin550.82,cos550.57,tan551.43) 考点:解直角三角形的应用分析:(1)根据三角函数分别表示出OE和DE,再根据点D到点O的距离为30cm可列方程求解;(2)在RtBDE中,根据三角函数即可得到滑动支架的长解答:解:(1)在RtBOE中,OE=,在RtB
14、DE中,DE=,则+=30,解得BE10.6cm故B点到OP的距离大约为10.6cm;(2)在RtBDE中,BD=25.3cm故滑动支架的长25.3cm点评:此题考查了解直角三角形的应用,主要是三角函数的基本概念及运算,关键是运用数学知识解决实际问题3. (2014山东潍坊,第21题10分)如图,某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B,一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行,飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是450,然后:沿平行于AB的方向水平飞行1.99104米到达点D处,在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是600,求两海岛间的距离AB考点:解直角三角形的应用
15、仰角俯角问题分析:首先过点A作AECD于点E,过点B作BFCD于点F,易得四边形ABFE为矩形,根据矩形的性质,可得AB=EF,AE=BF由题意可知:AE=BF=100米,CD=500米,然后分别在RtAEC与RtBFD中,利用三角函数即可求得CE与DF的长,继而求得岛屿两端A、B的距离解答:如图,过点A作AECD于点E,过点B作BF上CD,交CD的延长线于点F,则四边形ABFE为矩形,所以AB=EF, AE=BF, 由题意可知AE=BF=1100200=900,CD=19900在RtAEC中,C=450, AE=900, 在RtBFD中,BDF=600,BF=900,BF=900 AB=EF
16、=CD+DFCE=19900+900=19000+ 答:两海岛之间的距离AB是(19000+3003)米 点评:此题考查了俯角的定义、解直角三角形与矩形的性质注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键,注意数形结合思想的应用4. (2014山东烟台,第21题7分)小明坐于堤边垂钓,如图,河堤AC的坡角为30,AC长米,钓竿AO的倾斜角是60,其长为3米,若AO与钓鱼线OB的夹角为60,求浮漂B与河堤下端C之间的距离考点:解直角三角形的应用分析:延长OA交BC于点D先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出CAD=180ODBACD=90,解RtACD,得出AD=ACtanACD=米,C
17、D=2AD=3米,再证明BOD是等边三角形,得到BD=OD=OA+AD=4.5米,然后根据BC=BDCD即可求出浮漂B与河堤下端C之间的距离解答:延长OA交BC于点DAO的倾斜角是60,ODB=60ACD=30,CAD=180ODBACD=90在RtACD中,AD=ACtanACD=(米),CD=2AD=3米,又O=60,BOD是等边三角形,BD=OD=OA+AD=3+=4.5(米),BC=BDCD=4.53=1.5(米)答:浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米点评:本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题,作出辅助线得到RtACD是解题的关键5(2014湖南怀化,第21题,10分)两个城镇
18、A、B与两条公路ME,MF位置如图所示,其中ME是东西方向的公路现电信部门需在C处修建一座信号发射塔,要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等,到两条公路ME,MF的距离也必须相等,且在FME的内部(1)那么点C应选在何处?请在图中,用尺规作图找出符合条件的点C(不写已知、求作、作法,只保留作图痕迹)(2)设AB的垂直平分线交ME于点N,且MN=2(+1)km,在M处测得点C位于点M的北偏东60方向,在N处测得点C位于点N的北偏西45方向,求点C到公路ME的距离考点:解直角三角形的应用-方向角问题;作图应用与设计作图分析:(1)到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上,到两条公路距离相
19、等的点在两条公路所夹角的角平分线上,分别作出垂直平分线与角平分线,它们的交点即为所求作的点C(2)作CDMN于点D,由题意得:CMN=30,CND=45,分别在RtCMD中和RtCND中,用CD表示出MD和ND的长,从而求得CD的长即可解答:解:(1)答图如图:(2)作CDMN于点D,由题意得:CMN=30,CND=45,在RtCMD中,=tanCMN,MD=;在RtCND中,=tanCNM,ND=CD;MN=2(+1)km,MN=MD+DN=CD+CD=2(+1)km,解得:CD=2km点C到公路ME的距离为2km点评:本题考查了解直角三角形的应用及尺规作图,正确的作出图形是解答本题的关键,
20、难度不大6.(2014湖南张家界,第21题,8分)如图:我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行,在A点观测到我渔船C在北偏东60方向的我国某传统渔场捕鱼作业若渔政310船航向不变,航行半小时后到达B点,观测到我渔船C在东北方向上问:渔政310船再按原航向航行多长时间,离渔船C的距离最近?(渔船C捕鱼时移动距离忽略不计,结果不取近似值)考点:解直角三角形的应用-方向角问题分析:首先作CDAB,交AB的延长线于D,则当渔政310船航行到D处时,离渔政船C的距离最近,进而表示出AB的长,再利用速度不变得出等式求出即可解答:解:作CDAB,交AB的延长线于D,则当渔政310船航行到D处时,离渔政
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