中考数学第一部分专题四因动点产生的平行四边形问题.pdf
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1、 14 因动点产生的平行四边形问题 课前导学 我们先思考三个问题: 1已知 A、B、C三点,以 A、B、C、D为顶点的平行四边形有几个,怎么画? 2在坐标平面内,如何理解平行四边形ABCD的对边 AB与 DC平行且相等? 3在坐标平面内,如何理解平行四边形ABCD的对角线互相平分? 图 1 图 2 图 3 如图 1,过 ABC的每个顶点画对边的平行线,三条直线两两相交,产生三个点D 如图 2,已知 A(0, 3) ,B(2, 0) ,C(3, 1) ,如果四边形ABCD是平行四边形, 怎样求点D的坐标呢? 点 B先向右平移2 个单位, 再向上平移3 个单位与点A重合, 因为 BA与 CD平行且
2、相等, 所以点 C(3, 1) 先向右平移2 个单位,再向上平移3 个单位得到点D(5, 4) 如图 3,如果平行四边形ABCD 的对角线交于点G,那么过点G画任意一条直线(一般与坐标轴垂直), 点 A、C到这条直线的距离相等,点B、 D到这条直线的距离相等 关系式 xAxCxBxD和 yAyCyByD有时候用起来很方便 我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合 如图 4,点 A是抛物线 y x 22x 3 在 x 轴上方的一个动点, AB x 轴于点 B,线段 AB交直线 y x1 于点 C,那么 点 A的坐标可以表示为(x, x 22x3), 点 C的坐标可以表示为(x, x 1) , 线段
3、 AB的长可以用点A的纵坐标表示为 AB yA x 22x3, 线段 AC的长可以用A、C两点的纵坐标图 4 表示为 AC yAyC( x 22x3)(x 1) x2x2 通俗地说,数形结合就是:点在图象上,可以用图象的解析式表示点的坐标,用点的坐标表示点到坐 标轴的距离 例 24 2014年湖南省岳阳市中考第24 题 如图 1,抛物线经过A(1, 0)、 B(5, 0)、C 10 (0,) 3 三点设点E(x, y)是抛物线上一动点,且在x 轴 下方,四边形OEBF是以 OB为对角线的平行四边形 (1)求抛物线的解析式; (2)当点 E(x, y)运动时,试求平行四边形OEBF的面积 S与
4、x 之间 的函数关系式,并求出面积S的最大值; (3)是否存在这样的点E,使平行四边形OEBF为正方形?若存在, 求点 E、F 的坐标;若不存在,请说明理由 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“14 岳阳 24” ,拖动点E运动,可以体验到,当点E运动到抛物线的顶点时, S最大当点E运动到 OB的垂直平分线上时,四边形OEBF恰好是正方形 思路点拨 1平行四边形OEBF的面积等于OEB面积的 2 倍 2第( 3)题探究正方形OEBF ,先确定点E在 OB的垂直平分线上,再验证EO EB 图文解析 (1)因为抛物线与x 轴交于 A(1, 0)、B(5, 0)两点,设y a(x 1)(x 5)
5、 代入点 C 10 (0,) 3 ,得 10 5 3 a解得 2 3 a 所以抛物线的解析式为 2 2210 (1)(5)4 333 yxxxx (2)因为 SS平行四边形OEBF 2SOBEOB ( yE) 2210 5(4) 33 xx 210 (65) 3 xx 21040 (3) 33 x 所以当 x3 时, S取得最大值,最大值为 40 3 此时点E是抛物线的顶点(如图2) (3)如果平行四边形OEBF是正方形,那么点E在 OB的垂直平分线上,且EO EB 当 x 5 2 时, 22355 (1)(5)() 33222 yxx此时 E 55 (,) 22 如图 3,设 EF与 OB交
6、于点 D,恰好 OB 2DE 所以 OEB是等腰直角三角形所以平行四边形OEBF是正方形 所以当平行四边形OEBF是正方形时,E 55 (,) 22 、F 5 5 (,) 2 2 图 2 图 3 考点伸展 既然第( 3)题正方形OEBF是存在的,命题人为什么不让探究矩形OEBF有几个呢? 如图 4,如果平行四边形OEBF为矩形,那么OEB 90 根据 EH 2HO HB,列方程 2 2 (1)(5)(5) 3 xxxx 或者由 DE 1 2 OB 5 2 ,根据 DE 225 4 ,列方程 2 25225 ()(1)(5) 234 xxx 这两个方程整理以后都是一元三次方程4x 328x253
7、x200,这个方程对于初中毕业的水平是不 好解的 事实上,这个方程可以因式分解, 51 (4)()()0 22 xxx 如图 3,x 5 2 ;如图 4,x4;如图 5,x 1 2 ,但此时点E在 x 轴上方了 这个方程我们也可以用待定系数法解: 设方程的三个根是 5 2 、 m 、n,那么 4x 328x253x205 4()()() 2 xxm xn 根据恒等式对应项的系数相等,得方程组 441028, 1010453, 1020. mn mnmn mn 解得 4, 1 . 2 m n 图 4 图 5 例 25 2014年湖南省益阳市中考第20 题 如图 1,直线 y 3x3 与 x 轴、
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