华师大版七年级数学下册教案第章一元一次方程.pdf
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1、1 / 21 第 6 章一元一次方程 61 从实际问题到方程 6.2 解一元一次方程 1方程的简单变形 2、解一元一次方程 63 实践与探索 小结与复习 (一 ) 第 6 章一元一次方程 61 从实际问题到方程 教案目的 1通过对多个实际问题的分析,使学生体会到一元一次方程作为实际问题的数学模型的作 用。 2使学生会列一元一次方程解决一些简单的应用题。 3会判断一个数是不是某个方程的解。 重点、难点 1重点:会列一元一次方程解决一些简单的应用题。 2难点:弄清题意,找出“相等关系”。 教案过程 一、复习提问 小学里已经学过列方程解简单的应用题,让我们回顾一下,如何列方程解应用题? 例如:一本笔
2、记本1 2元。小红有6 元钱,那么她最多能买到几本这样的笔记本呢? 解:设小红能买到工本笔记本,那么根据题意,得 1.2x 6 因为 1.2 56,所以小红能买到5 本笔记本。 二、新授: 我们再来看下面一个例子: 问题 1:某校初中一年级328 名师生乘车外出春游,已有2 辆校车可以乘坐64 人,还需 租用 44 座的客车多少辆? 问:你能解决这个问题吗?有哪些方法 ? (让学生思考后,回答,教师再作讲评) 算术法: (32864)44264446(辆 ) 列方程解应用题: 2 / 21 设需要租用x 辆客车,那么这些客车共可乘44x 人,加上乘坐校车的64 人,就是全体师生 328 人,可
3、得。 44x+64328 (1) 解这个方程,就能得到所求的结果。 问:你会解这个方程吗?试试看 ? (学生可能利用逆运算求解,教师加以肯定,同时指出本章里我们将要学习解方程的另一种 方法。 ) 问题2:在课外活动中,张老师发现同学们的年龄大多是13 岁,就问同学:“我今年45 岁,几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一?” 小敏同学很快说出了答案。“三年”。他是这样算的: 1 年后,老师46 岁,同学们的年龄是14 岁,不是老师的三分之一。 2 年后,老师47 岁,同学们的年龄是15 岁,也不是老师的三分之一。 3 年后,老师48 岁,同学们的年龄是16 岁,恰好是老师的三分之一。 你能否用方
4、程的方法来解呢? 通过分析,列出方程:13x 1 3 (45x) 问:你会解这个方程吗?你能否从小敏同学的解法中得到启发? 这个方程不像例l 中的方程 (1)那样容易求出它的解,小敏同学的方法启发了我们,可以用 尝试,检验的方法找出方程(2)的解。也就是只要将x1, 2,3,4,代人方程(2)的两 边,看哪个数能使两边的值相等,这个数就是这个方程的解。 把 x3 代人方程 (2),左边 13+316,右边 1 3 (45+3) 1 3 4816, 因为左边右边,所以x3 就是这个方程的解。 这种通过实验的方法得出方程的解,这也是一种基本的数学思想方法。也可以据此检验一下 一个数是不是方程的解。
5、 问:若把例2 中的“三分之一”改为“二分之一”,那么答案是多少? 同学们动手试一试,大家发现了什么问题? 同样,用检验的方法也很难得到方程的解,因为这里x 的值很大。另外,有的方程的 解不一定是整数,该从何试起?如何实验根本无法人手,又该怎么办? 这正是我们本章要解决的问题。 三、巩固练习 1教科书第3 页练习 1、2。 2补充练习:检验下列各括号内的数是不是它前面方程的解。 (1)x3(x+2) 6+x (x 3, x 4) (2)2y(y 1)3 (y 1,y 3 2 ) (3)5(x 1)(x 2) 0 (x0,x1, x2) 四、小结。本节课我们主要学习了怎样列方程解应用题的方法,解
6、决一些实际问题。谈谈你 的学习体会。 五、作业。教科书第3 页,习题6.1 第 1、3 题。 3 / 21 6.2 解一元一次方程 1方程的简单变形 教案目的 通过天平实验,让学生在观察、思考的基础上归纳出方程的两种变形,并能利用它们将 简单的方程变形以求出未知数的值。 重点、难点 1重点:方程的两种变形。 2难点:由具体实例抽象出方程的两种变形。 教案过程 一、引入 上一节课我们学习了列方程解简单的应用题,列出的方程有的我们不会解,我们知道解方 程就是把方程变形成x a形式,本节课,我们将学习如何将方程变形。 二、新授 让我们先做个实验,拿出预先准备好的天平和若干砝码。 测量一些物体的质量时
7、,我们将它放在天干的左盘内,在右盘内放上砝码,当天平处于平 衡状态时,显然两边的质量相等。 如果我们在两盘内同时加入相同质量的砝码,这时天平仍然平衡,天平两边盘内同时拿去 相同质量的砝码,天平仍然平衡。 如果把天平看成一个方程,课本第4 页上的图,你能从天平上砝码的变化联想到方程的变 形吗 ? 让同学们观察图(1)的左边的天平;天平的左盘内有一个大砝码和2 个小砝码,右盘上有5 个小砝码,天平平衡,表示左右两盘的质量相等。如果我们用x 表示大砝码的质量,1 表示 小砝码的质量,那么可用方程x+25 表示天平两盘内物体的质量关系。 问:图 (1)右边的天平内的砝码是怎样由左边天平变化而来的?它所
8、表示的方程如何由方 程 x+25 变形得到的 ? 学生回答后,教师归纳:方程两边都减去同一个数,方程的解不变。 问:若把方程两边都加上同一个数,方程的解有没有变?如果把方程两边都加上(或减去 )同一 个整式呢 ? 让同学们看图(2)。左天平两盘内的砝码的质量关系可用方程表示为3x2x+2,右边的天 平内的砝码是怎样由左边天平变化而来的? 把天平两边都拿去2 个大砝码,相当于把方程3x2x+2 两边都减去2x,得到的方程的解变 化了吗 ?如果把方程两边都加上2x 呢 ? 由图 (1)、(2)可归结为; 方程两边都加上或都减去同一个数或同一个整式,方程的解不变。 让学生观察 (3),由学生自己得出
9、方程的第二个变形。 即方程两边都乘以或除以同一个不为零的数,方程的解不变: 通过对方程进行适当的变形可以求得方程的解。 例 1解下列方程 4 / 21 (1)x57 (2)4x 3x4 (1)解两边都加上5,x,x7+5 即 x12 (2)两边都减去3x,x3x43x 即 x 4 请同学们分别将x7+5 与原方程x57;x3x43,与原方程4x3x4 比较,你 发现了这些方程的变形。有什么共同特点? 这就是说把方程两边都加上(或减去 )同一个数或同一个整式,就相当于把方程中的某些项 改变符号后,从方程的一边移到另一边,这样的变形叫做移项。 注意:“移项是指将方程的某一项从等号的左边移到右边或从
10、右边移到左边,移项时 要先变号后移项。 例 2解下列方程 (1)5x2 (2)3 2 x 1 3 这里的变形通常称为“将未知数的系数化为1”。 以上两个例题都是对方程进行适当的变形,得到xa的形式。 练习: 课本第 6 页练习 1、2、3。 练习中的第3 题,即第2页中的方程先让学生讨论、交流。 鼓励学生采用不同的方法,要他们说出每一步变形的根据,由他们自己得出采用哪种方法 简便,体会方程的不同解法中所经历的转化思想,让学生自己体验成功的感觉。 三、巩固练习 教科书第7 页,练习 四、小结 本节课我们通过天平实验,得出方程的两种变形: 1把方程两边都加上或减去同一个数或整式方程的解不变。 2.
11、把方程两边都乘以或除以(不等零 )的同一个数,方程的解不变。第种变形又叫移项,移 项别忘了要先变号,注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质的区别。 五、作业 教科书第78 页习题 6.2.1 第 1、2、3。 2、解一元一次方程 第一课时 教案目的 1了解一元一次方程的概念。 2掌握含有括号的一元一次方程的解法。 重点、难点 1重点;解含有括号的一元一次方程的解法。 2难点;括号前面是负号时,去括号时忘记变号。 教案过程 一、复习提问 1解下列方程: 5 / 21 (1)5x 28 (2)5+2x 4x 2去括号法则是什么?“移项”要注意什么? 二、新授 一元一次方程的概念 前面我们遇到的
12、一些方程,例如44x+64 328 3+x 1 3 (45+x) y 52y+l 问:大家观 察这些方程,它们有什么共同特征? (提示:观察未知数的个数和未知数的次数。) 只含有一个未知数,并且含有未知数的式子都是整式,未知数的次数是l,这样的方程叫做 一元一次方程。 例 1判断下列哪些是一元一次方程 3 4 x 1 2 3x2 1 3 x 1 5 2x 3 l 5x 23x+1 0 2x+y l3y 1 x-1 5 下面我们再一起来解几个一元一次方程。 例 2解方程 (1) 2(x1)4 (2)3(x 2)+1x (2x1) 方程 (1)该怎样解 ?由学生独立探索解法,并互相交流 此方程既可
13、以先去括号求解,也可以看作关于(x1)的一元一次方程进行求解。 第 (2)题可由学生自己完成后讲评,讲评时,强调去括号时把括号外的因数分别乘以括号内 的每一项,若括号前面是“”号,注意去掉括号,要改变括号内的每一项的符号。 补充例题:解方程3x3(x+1) (1+4) l 方程中有多重括号,你会解这个方程吗? 说明:方程中有多重括号时,一般应按先去小括号,再去中括号,最后去大括号的方法去 括号,每去一层括号合并同类项一次,以简便运算。 三、巩固练习 教科书第9 页,练习, l、2、3。 四、小结 本节课我们学习了一元一次方程的概念,并学习了含有括号的一元一次方程的解法。用分 配律去括号时,不要
14、漏乘括号中的项,并且不要搞错符号。 五、作业 1教科书第12 页习题 62, 2第 l 题。 第二课时 教案目的 使学生掌握去分母解方程的方法,并从中体会到转化的思想。对于求解较复杂的方程, 要注意培养学生自觉反思求解的过程和自觉检验方程的解是否正确的良好习惯。 重点、难点 1、 重点:掌握去分母解方程的方法。 2、 2、难点:求各分母的最小公倍数,去分母时,有时要添括号。 教案过程 一、复习提问 6 / 21 1去括号和添括号法则。 2求几个数的最小公倍数的方法。 二、新授 例 1:解方程 x-3 2 2x+1 3 1 分析:如何解这个方程呢?此方程可改写成 1 2 (x3) 1 3 (2x
15、+1) 1 所以可以去括号解这个方程,先让学生自己解。 同学们,想一想还有其他方法吗?能否把方程变形成没有分母的一元一次方程,这样,我们 就可以用已学过的方法解它了。 解法二;把方程两边都乘以6,去分母。 比较两种解法,可知解法二简便。 想一想,解一元一次方程有哪些步骤? 先让学生自己总结,然后互相交流,得出结论。 解一元一次方程,一般要通过去分母,去括号,移项,合并同类项,未知数的系数化为1 等步骤,把一个一元一次方程“转化”成xa的形式。解题时,要灵活运用这些步骤。 补充例 2:解方程 1 5 (x+15) 1 2 1 3 (x 7) 问:如果先去分母,方程两边应同乘以一个什么数? 应乘以
16、各分母的最小公倍数,5、2、3 的最小公倍数。 三、巩固练习 教科书第10 页,练习1、2。 (练习第 1题是辨析题,引导学生进行分析、讨论,帮助学生在实践 中自我认识和纠正解题中的错误) 四、小结 1解一元一次方程有哪些步骤? 2同学们要灵活运用这些解法步骤,掌握移项要变号,去分母时,方程两边每一项都要乘 各分母的最小公倍数,切勿漏乘不含有分母的项,另外分数线有两层意义,一方面它是除 号,另一方面它又代表着括号,所以在去分母时,应该将分子用括号括上。 五、作业 教科书第13 页习题 6.2,2 第 2 题。 第三课时 教案目的 使学生灵活应用解方程的一般步骤,提高综合解题能力。 重点、难点
17、1、 重点:灵活应用解题步骤。 2、 难点:在“灵活”二字上下功夫。 教案过程: 一、 复习 1、 一元一次方程的解题步骤。 2、 分数的基本性质。 7 / 21 3、 解方程。 2x-1 3 10x+1 6 = 2x+1 4 1 二、新授 例 1解方程示 x 0.7 0.17-0.2x 0.03 1 分析:此方程的分母是小数,如果能把各分母化为整数,那么就可以用前面学过的方法 求解了。那么怎样化简呢?引导学生分析,并求出方程的解。交流体会。 例 2解方程x 1 2 x 1 2 (x1) 2(x-1) 3 先让学生思考,议论如何解这个方程? 然后教师小结先去分母一次去不掉,先去括号后,再去分母
18、方法较好。尝试解答。 例 3:已知公式V nD 100 中, V120、D100、 3.14,求 n 的值。(保留整数) 分析:在公式中,V、D、都已知,只要把它们的值代入公式,就可以得到关于n 的一 元一次方程。 三、巩固练习。 1、 根据公式VV0at,填写下列表中的空格。 V V0a t 0 2 8 48 3 14 15 5 4 76 13 7 2、 解方程。 x 3 + 1 2 ( 2x 3 4)2 2(2-3x) 0.01 4.5 0.03-3x 0.03 9.5 练习时,鼓励学生通过独立探索解法,并互相交流,从而得到较简单的方法。 四、小结。 当方程较复习时,应灵活运用解题步骤,若
19、方程的分母是小数,应先利用分数的性 质,把分子、分母同时扩大若干倍,此时分子要作为一个整体,需要补上括号,注意不 是去分母,不能把方程其余的项也扩大若干倍。分母由小数化为整数的方法有多种,应 根据题目特点寻找最佳方法。 五、作业。 教科书第13 页第 3 题 8 / 21 第四课时 教案目的: 理解一元一次方程解简单应用题的方法和步骤;并会列一元一次方程解简单应用题。 重点、难点 1、 重点:弄清应用题题意列出方程。 2、 难点:弄清应用题题意列出方程。 教案过程 一、复习 1、 什么叫一元一次方程? 2、 解一元一次方程的理论根据是什么? 二、新授。 例 1、如图(课本第10 页)天平的两个
20、盘内分别盛有51 克, 45 克食盐,问应该从盘A 内拿出多少盐放到月盘内,才能两盘所盛的盐的质量相等? 先让学生思考,引导学生结合填表,体会解决实际问题,重在学会探索:已知量和未知量 的关系,主要的等量关系,建立方程,转化为数学问题。 分析:设应从A 盘内拿出盐x,可列表帮助分析。 等量关系; A 盘现有盐 B 盘现有盐 完成后,可让学生反思,检验所求出的解是否合理。 (盘 A 现有盐为5l348,盘 B 现有盐为45+348。) 培养学生自觉反思求解过程和自觉检验方程的解是否正确的良好习惯。 例 2.学校团委组织65 名团员为学校建花坛搬砖,初一同学每人搬6 块,其他年级同学 每人搬 8
21、块,总共搬了400 块,问初一同学有多少人参加了搬砖? 引导学生弄清题意,疏理已知量和未知量: 1题目中有哪些已知量? (1)参加搬砖的初一同学和其他年级同学共65 名。 9 / 21 (2)初一同学每人搬6 块,其他年级同学每人搬8 块。 (3)初一和其他年级同学一共搬了400 块。 2求什么 ? 初一同学有多少人参加搬砖? 3等量关系是什么? 初一同学搬砖的块数十其他年级同学的搬砖数400 如果设初一同学有工人参加搬砖,那么由已知量(1)可得,其他年级同学有(65x)人参加搬 砖;再由已知量(2)和等量关系可列出方程 6x+8(65 x)400 也可以按照教科书上的列表法分析 三、巩固练习
22、 教科书第12 页练习 1、2、3 第 l 题:可引导学生画线图分析 等量关系是:AC 十 CB400 若设小刚在冲刺阶段花了x 秒,即 t1x 秒,则 t2(65x)秒,再 由等量关系就可列出方程: 6(65x)+8x=400 四、小结 本节课我们学习了用一元一次方程解答实际问题,列方程解应用题的关键在于抓住能表示 问题含意的一个主要等量关系,对于这个等量关系中涉及的量,哪些是已知的,哪些是未知 的,用字母表示适当的未知数(设元 ),再将其余未知量用这个字母的代数式表示,最后根据 等量关系,得到方程,解这个方程求得未知数的值,并检验是否合理。最后写出答案。 五、作业 10 / 21 63 实
23、践与探索 第一课时 教案目的 让学生通过独立思考,积极探索,从而发现;围成的长方形的长和宽在发生变化,但在围 的过程中,长方形的周长不变,由此便可建立“等量关系”同时根据计算,发现随着长方形 长与宽的变化,长方形的面积也发生变化,且长方形的长与宽越接近时,面积越大。通过问 题 3 的教案,让学生初步体会数形结合思想的作用。 重点、难点 1重点:通过分析图形问题中的数量关系,建立方程解决问题。 2难点:找出“等量关系”列出方程。 教案过程 一、复习提问 1列一元一次方程解应用题的步骤是什么? 2长方形的周长公式、面积公式。 二、新授 问题 3用一根长60 厘 M 的铁丝围成一个长方形。 (1)使
24、长方形的宽是长的专,求这个长方形的长和宽。 (2)使长方形的宽比长少4 厘 M,求这个长方形的面积。 (3)比较 (1)、 (2)所得两个长方形面积的大小,还能围出面积更大的长方形吗? 让学生独立探索解法,并互相交流。第(1)小题一般能由学生独立或合作完成,教师也可提 示:与几何图形有关的实际问题,可画出图形,在图上标注相关量的代数式,借助直观形象 有助于分析和发现数量关系。 分析:由题意知,长方形的周长始终不变,长与宽的和为60230(厘 M) ,解决这个问题 时,要抓住这个等量关系。 第 (2)小题的设元,可让学生尝试、讨论,对学生所得到的结论都应给予鼓励,在讨论交流 的基础上,使学生知道
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