小学奥数举一反三五年级1-40完整版-精.pdf
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1、1 第一周平均数(一) 专题简析: 把几个不相等的数, 在总数不变的条件下, 通过移多补少, 使 它们完全相等,求得的相等的数就是平均数。 如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢? 下面的数量关系必须牢记: 平均数 =总数量总份数 总数量 =平均数总份数 总份数 =总数量平均数 例 1 有 4 箱水果,已知苹果、梨、橘子平均每箱42 个,梨、橘 子、 桃平均每箱 36个, 苹果和桃平均每箱37个。 一箱苹果多少个? 分析与解答: (1) 1箱苹果 1箱梨1箱橘子 =423=136 (个) ; (2)1 箱桃1 箱梨 1 箱橘子 =363=108(个) (3)1 箱苹果 1 箱桃=3
2、72=72(个) 由(1) (2)两个等式可知: 1 箱苹果比 1 箱桃多 126108=18(个) ,再根据等式( 3)就 可以算出:1 箱桃有(7418)2=28 (个) ,1 箱苹果有 2818=46 (个) 。 1 箱苹果和 1 箱桃共有多少个: 372=74(个) 1 箱苹果比 1 箱桃多多少个: 42336=18(个) 1 箱苹果有多少个: 2818=46(个) 练习一 1,一次考试,甲、乙、丙三人平均分91分,乙、丙、丁三人平均 分 89分,甲、丁二人平均分95分。问:甲、丁各得多少分? 2,甲、乙、丙、丁四人称体重,乙、丙、丁三人共重120 千克, 甲、丙、丁三人共重126千克
3、,丙、丁二人的平均体重是40千克。 求四人的平均体重是多少千克? 2 3,甲、乙、丙三个小组的同学去植树,甲、乙两组平均每组植树 18棵,甲、丙两组平均每组植树17棵,乙、丙两组平均每组植树 19棵。三个小组各植树多少棵? 例 2 一次数学测验,全班平均分是91.2分,已知女生有21人, 平均每人 92分;男生平均每人90.5分。求这个班男生有多少人? 分析:女生每人比全班平均分高9291.2=0.8 (分) ,而男生每人 比全班平均分低 91.2 90.5=0.7 (分) 。 全体女生高出全班平均分0.8 21=16.8(分) ,应补给每个男生0.7分,16.8里包含有 24个 0.7, 即
4、全班有 24个男生。 练习二 1,两组学生进行跳绳比赛,平均每人跳152下。甲组有 6 人,平 均每人跳 140下,乙组平均每人跳160下。乙组有多少人? 2,有两块棉田,平均每亩产量是92.5千克,已知一块地是5 亩, 平均每亩产量是 101.5千克;另一块田平均每亩产量是85千克。这 块田是多少亩? 3,把甲级和乙级糖混在一起,平均每千克卖7 元,乙知甲级糖有 4 千克,平均每千克8 元;乙级糖有 2 千克,平均每千克多少元? 例 3 某 3 个数的平均数是2,如果把其中一个数改为4,平均数 就变成了 3。被改的数原来是多少? 分析:原来三个数的和是23=6,后来三个数的和是33=9,9
5、3 比 6 多出了 3,是因为把那个数改成了4。因此,原来的数应该是 43=1。 练习三 1,已知九个数的平均数是72,去掉一个数之后,余下的数的平均 数是 78。去掉的数是多少? 2,有五个数,平均数是9。如果把其中的一个数改为1,那么这五 个数的平均数为 8。这个改动的数原来是多少? 3,甲、乙、丙、丁四位同学, 在一次考试中四人的平均分是90分。 可是,甲在抄分数时,把自己的分错抄成了87 分,因此,算得四 人的平均分是 88分。求甲在这次考试中得了多少分? 例 4 五一班同学数学考试平均成绩91.5分,事后复查发现计算成 绩时将一位同学的98分误作 89分计算了。经重新计算, 全班的平
6、 均成绩是 91.7分,五一班有多少名同学? 分析:98分比 89分多 9 分。多算 9 分就能使全班平均每人的成绩 上升 91.791.5=0.2 (分) 。9 里面包含有几个 0.2,五一班就有几名 同学。 练习四 1,五( 1)班有 40 人,期中数学考试,有2 名同学去参加体育比 赛而缺考,全班平均分为92分。缺考的两位同学补考均为100分, 这次五( 1)班同学期中考试的平均分是多少分? 2,某班的一次测验,平均成绩是91.3分。复查时发现把张静的89 4 分误看作 97 分计算,经重新计算,该班平均成绩是91.1分。问全 班有多少同学? 3,五个数的平均数是18,把其中一个数改为6
7、 后,这五个数的平 均数是 16。这个改动的数原来是多少? 例 5 把五个数从小到大排列, 其平均数是 38。前三个数的平均数 是 27,后三个数的平均数是48。中间一个数是多少? 分析:先求出五个数的和:385=190,再求出前三个数的和:27 3=81,后三个数的和: 483=144。用前三个数的和加上后三个 数的和,这样,中间的那个数就算了两次,必然比190多,而多出 的部分就是所求的中间的一个数。 练习五 1,甲、乙、丙三人的平均年龄为22岁,如果甲、乙的平均年龄是 18岁,乙、丙的平均年龄是25岁,那么乙的年龄是多少岁? 2,十名参赛者的平均分是82 分,前 6 人的平均分是83 分
8、,后 6 人的平均分是 80分。那么第 5 人和第 6 人的平均分是多少分? 3,下图中的内有五个数A、B、C、D、E,内的数表示与它相 连的所有中的平均数。求C 是多少? 第周平均数(二) 例 1 小明前几次数学测验的平均成绩是84分,这次要考 100分, 才能把平均成绩提高到86分。问这是他第几次测验? 5 分析与解答: 100分比 86分多 14分,这 14分必须填补到前几次的 平均分 84分中去, 使其平均分成为86分。 每次填补 8684=2 (分) , 14里面有 7 个 2,所以,前面已经测验了7 次,这是第 8 次测验。 练习一 1,老师带着几个同学在做花,老师做了21朵,同学
9、平均每人做了 5 朵。如果师生合起来算,正好平均每人做了7 朵。求有多少个同 学在做花? 2,一位同学在期中测验中,除了数学外,其它几门功课的平均成 绩是 94分,如果数学算在内, 平均每门 95分。 已知他数学得了100 分,问这位同学一共考了多少门功课? 3,两组同学进行跳绳比赛,平均每人跳152次。甲组有 6 人,平 均每人跳 140次,如果乙组平均每人跳160次,那么,乙组有多少 人? 例 2 小亮在期末考试中,政治、语文、数学、英语、自然五科的 平均成绩是 89 分,政治、数学两科平均91.5分,政治、英语两科 平均 86分,英语比语文多10分。小亮的各科成绩是多少分? 分析与解答:
10、因为语文、英语两科平均分84分,即语文英语 =168 分,而英语比语文多10 分,即英语语文 =10 分,所以,语文是 (16810)2=79 分,英语是 7910=89分。又因为政治、英语 两科平均 86分,所以政治是 86289=83 分;而政治、数学两科 平均分 91.5分,数学是 91.5 283=100分;最后根据五科的平均 成绩是 89分可知,自然分是895(798983100)=94 分。 练习二 1,甲、乙、丙三个数的平均数是82,甲、乙两数的平均数是86, 乙、丙两数的平均数是77。乙数是多少?甲、丙两个数的平均数 是多少? 2, 小华的前几次数学测验的平均成绩是80分,这一
11、次得了 100分, 6 正好把这几次的平均分提高到85分。这一次是他第几次测验? 3,五个数排一排,平均数是9。如果前四个数的平均数是7,后四 个数的平均数是 10, 那么,第一个数和第五个数的平均数是多少? 例 3 两地相距 360千米,一艘汽艇顺水行全程需要10小时,已知 这条河的水流速度为每小时6 千米。往返两地的平均速度是每小时 多少千米? 分析与解答:用往返的路程除以往返所用的时间就等于往返两地的 平均速度。显然,要求往返的平均速度必须先求出逆水行全程时所 用的时间。因为36010=36(千米)是顺水速度,它是汽艇的静 水速度与水流速度的和, 所以,此汽艇的静水速度是366=30 (
12、千 米) 。而逆水速度 = 静水速度水流速度,所以汽艇的逆水速度是 306=24(千米) 。逆水行全程时所用时间是36024=15(小时), 往返的平均速度是3602(1015)=28.8(千米) 。 练习三 1,甲、乙两个码头相距144千米,汽船从乙码头逆水行驶8 小时 到达甲码头,已知汽船在静水中每小时行驶21 千米。求汽船从甲 码头顺流行驶几小时到达乙码头? 2,一艘客轮从甲港驶向乙港,全程要行165 千米。已知客轮的静 水速度是每小时30 千米,水速每小时3 千米。现在正好是顺流而 行,行全程需要几小时? 3,甲船逆水航行 300千米,需要 15小时,返回原地需要10小时; 乙船逆水航
13、行同样的一段水路需要20 小时,返回原地需要多少小 时? 7 例 4 幼儿园小班的 20个小朋友和大班的 30个小朋友一起分饼干, 小班的小朋友每人分10 块,大班的小朋友每人比大、小班小朋友 的平均数多 2 块。求一共分掉多少块饼干? 分析与解答:只要知道了大、小班小朋友分得的平均数,再乘(30 20)人就能求出饼干的总块数。因为大班的小朋友每人比大、小 班小朋友的平均数多2 块,30个小朋友一共多230=60(块) ,这 60 块平均分给 20 个小班的小朋友,每人可得6020=3(块) 。因 此,大、小班小朋友分得平均块数是103=13(块) 。一共分掉 13 (3020)=650(块)
14、 。 练习四 1,数学兴趣小组里有4 名女生和 3 名男生,在一次数学竞赛中, 女生的平均分是90 分,男生的平均分比全组的平均分高2 分,全 组的平均分是多少分? 2,两组同学跳绳,第一组有25 人,平均每人跳80 下;第二组有 20 人,平均每人比两组同学跳的平均数多5 下,两组同学平均每 人跳几下? 3,一个技术工带5 个普通工人完成了一项任务,每个普通工人各 得 120元,这位技术工人的收入比他们6 人的平均收入还多20元。 问这位技术工得多少元? 例 5 王强从 A 地到 B 地,先骑自行车行完全程的一半, 每小时行 12 千米。剩下的步行,每小时走4 千米。王强行完全程的平均速 度
15、是每小时多少千米? 分析与解答: 求行完全程的平均速度, 应该用全程除以行全程所用 8 的时间。由于题中没有告诉我们A 地到 B 地间的路程,我们可以 设全程为 24千米(也可以设其他数),这样,就可以算出行全程所 用的时间是 1212124=4 (小时) ,再用 244 就能得到行全程 的平均速度是每小时6 千米。 练习五 1,小明去爬山,上山时每小时行3 千米,原路返回时每小时行5 千米。求小明往返的平均速度。 2,运动员进行长跑训练,他在前一半路程中每分钟跑150 米,后 一半路程中每分钟跑100米。求他在整个长跑中的平均速度。 3,把一份书稿平均分给甲、乙二人去打,甲每分钟打30个字,
16、乙 每分钟打 20个字。打这份书稿平均每分钟打多少个字? 第 3 周长方形、正方形的周长 同学们都知道,长方形的周长=(长宽) 2,正方形的周 长=边长 4。长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长 方形和正方形的周长。 如何应用所学知识巧求表面上看起来不是长 方形或正方形的图形的周长, 还需同学们灵活应用已学知识,掌握 转化的思考方法, 把复杂的问题转化为标准的图形,以便计算它们 的周长。 例 1 有 5 张同样大小的纸如下图(a)重叠着,每张纸都是 边长 6 厘米的正方形, 重叠的部分为边长的一半, 求重叠后图形的 周长。 思路与导航根据题意,我们可以把每个正方形的边长的一半 同时向左
17、、右、上、下平移(如图b) ,转化成一个大正方形,这 9 个大正方形的周长和原来5 个小正方形重叠后的图形的周长相等。 因此,所求周长是184=72 厘米。 练习一 1,下图由 8 个边长都是 2 厘米的正方形组成,求这个图形的 周长。 2,下图由 1 个正方形和 2 个长方形组成, 求这个图形的周长。 3,有 6 块边长是 1 厘米的正方形,如例题中所说的这样重叠 着,求重叠后图形的周长。 10 例 2 一块长方形木板,沿着它的长度不同的两条边各截去4 厘米, 截掉的面积为 192平方厘米。现在这块木板的周长是多少厘米? 思路导航把截掉的 192平方厘米分成 A、 B、C 三块(如图), 其
18、中 AB 的面积是 19244=176(平方厘米)。把 A 和 B 移到一 起拼成一个宽 4 厘米的长方形,而此长方形的长就是这块木板剩下 部分的周长的一半。1764=44(厘米),现在这块木板的周长是 442=88(厘米) 。 练习二 1,有一个长方形,如果长减少4 米,宽减少 2 米,面积就比 原来减少 44 平方米,且剩下部分正好是一个正方形。求这个正方 形的周长。 2,有两个相同的长方形,长是8 厘米,宽是 3 厘米,如果按 下图叠放在一起,这个图形的周长是多少? 11 3,有一块长方形广场,沿着它不同的两条边各划出2 米做绿 化带,剩下的部分仍是长方形,且周长为280米。求划去的绿化
19、带 的面积是多少平方米? 例 3 已知下图中,甲是正方形,乙是长方形,整个图形的周 长是多少? 思路导航从图中可以看出,整个图形的周长由六条线段围 成,其中三条横着,三条竖着。三条横着的线段和是(ab)2, 三条竖着的线段和是b2。所以,整个图形的周长是(ab)2 b2,即 2a 4b。 练习三 1,有一张长 40 厘米,宽 30 厘米的硬纸板,在四个角上各剪 去一个同样大小的正方形后准备做一个长方体纸盒,求被剪后硬纸 板的周长。 2,一个长 12厘米,宽 2 厘米的长方形和两个正方形正好拼成 下图(1)所示长方形,求所拼长方形的周长。 3,求下面图形(图2)的周长(单位:厘米) 。 12 图
20、(1)图( 2) 例 4 下图是边长为 4 厘米的正方形,求正方形中阴影部分的周长。 思路导航我们把阴影部分周长中左边的5 条线段全部平移 到左边,其和正好是4 厘米。再把下面的线段全部平移到下面,其 和也正好是 4 厘米。因此,阴影部分的周长与边长是4 厘米的正方 形的周长是相等的。 练习四 1,求下面图形的周长(单位:厘米) 。 2,在()里填上“”、 “”或“ =” 。 13 甲的周长()乙的周长 3,下图中的每一小段的长度都相等,求图形的周长。 例 5 如下图,阴影部分是正方形,DF=6 厘米, AB=9 厘米,求 最大的长方形的周长。 分析根据题意可知, 最大长方形的宽就是正方形的边
21、长。因 为 BC=EF,CF=DE ,所以,ABBCCF=ABFEED=9 6=15 (厘米) ,这正好是最大长方形周长的一半。因此,最大长方形的 周长是( 96)2=30(厘米) 。 练习五 1,下面三个正方形的面积相等, 剪去阴影部分的面积也相等, 求原来正方形的周长发生了什么变化?(单位:厘米) 14 2,下面是一个零件的平面图,图中每条短线段都是5 厘米, 零件长 35厘米,高 30 厘米。这个零件的周长是多少厘米? 3,有两个相同的长方形,长7 厘米,宽 3 厘米,如下图重叠 着,求重叠图形的周长。 15 第 4 周长方形、正方形的面积 专题简析: 长方形的面积 =长宽,正方形的面积
22、=边长边长。掌握并 能运用这两个面积公式,就能计算它们的面积。 但是,在平时的学习过程中, 我们常常会遇到一些已知条件比 较隐蔽、图形比较复杂、不能简单地用公式直接求出面积的题目。 这就需要我们切实掌握有关概念,利用“割补”、 “平移” 、 “旋转” 等方法,使复杂的问题转化为普通的求长方形、正方形面积的问题, 从而正确解答。 例 1 已知大正方形比小正方形边长多2 厘米,大正方形比小正方 形的面积大 40 平方厘米。求大、小正方形的面积各是多少平方厘 米? 2 2 B A 分析从图中可以看出,大正方形的面积比小正方形的面积大 出的 40平方厘米,可以分成三部分,其中A 和 B 的面积相等。因
23、 此,用 40 平方厘米减去阴影部分的面积,再除以2 就能得到长方 形 A 和 B 的面积,再用 A 或 B 的面积除以 2 就是小正方形的边长。 求到了小正方形的边长,计算大、小正方形的面积就非常简单了。 练习一 1,有一块长方形草地,长20 米,宽 15 米。在它的四周向外筑一 条宽 2 米的小路,求小路的面积。 2,正方形的一组对边增加30 厘米,另一组对边减少18厘米,结 16 果得到一个与原正方形面积相等的长方形。原正方形的面积是多少 平方厘米? 3,把一个长方形的长增加5 分米,宽增加8 分米后,得到一个面 积比原长方形多 181平方分米的正方形。 求这个正方形的边长是多 少分米?
24、 17 例 2 一个大长方形被两条平行于它的两条边的线段分成四个较小 的长方形,其中三个长方形的面积如下图所求,求第四个长方形的 面积。 分析因为 AECE=6,DEEB=35,把两个式子相乘 AE CEDE EB=356,而 CEEB=14,所以AEDE=35 6 14=15。 练习二 1,下图一个长方形被分成四个小长方形,其中三个长方形的面积 分别是 24平方厘米、30平方厘米和 32平方厘米,求阴影部分的面 积。 30 24 32 P NM F E D CB A 2,下面一个长方形被分成六个小长方形,其中四个长方形的面积 如图所示(单位:平方厘米) ,求 A 和 B 的面积。 B 12
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