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1、1 / 9 三角形中作辅助线的常用方法举例 一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,若直接证不出来,可连接两点或延长 某边构成三角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边的不 等关系证明,如: 例 1:已知如图1-1 :D、E为 ABC内两点 , 求证 :ABAC BD DE CE. 证明:(法一)将 DE两边延长分别交AB 、AC 于 M 、N, 在 AMN 中, AM AN MDDE NE 。( 1) 在 BDM 中, MB MD BD ;(2) 在 CEN中, CN NE CE ;(3) 由( 1)( 2)( 3)得: AMAN MB MD CN NE MD DE
2、 NE BD CE ABAC BD DE EC (法二:) 如图 1-2, 延长 BD交 AC 于 F,延长 CE交 BF于 G , 在 ABF和 GFC和 GDE 中有: AB AF BDDG GF (三角形两边之和大于第三边)(1) GF FC GE CE (同上)(2) DG GE DE (同上)(3) 由( 1)( 2)( 3)得: AB AF GF FC DG GE BD DG GF GE CE DE ABAC BD DE EC 。 二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时,可连 接两点或延长某边,构造三角形,使求证的大角在某个三角形的外角的位置上,小角 处于
3、这个三角形的内角位置上,再利用外角定理: 例如:如图2-1 :已知 D为 ABC内的任一点,求证:BDC BAC 。 分析: 因为 BDC 与 BAC不在同一个三角形中,没有直接的联系,可适当添加 辅助线构造新的三角形,使BDC处于在外角的位置, BAC处于在内角的位置; 证法一 :延长BD 交 AC 于点 E,这时 BDC是 EDC 的外角, BDC DEC ,同理 DEC BAC , BDC BAC 证法二:连接AD ,并延长交BC于 F BDF是 ABD的外角 BDF BAD ,同理, CDF CAD BDF CDF BAD CAD 即: BDC BAC 。 注意:利用三角形外角定理证明
4、不等关系时,通常将大角放在某三角形的外角位 置上,小角放在这个三角形的内角位置上,再利用不等式性质证明。 A BC DE N M 11图 A B C DE F G 21图 A BC D E F G 12图 2 / 9 三、有角平分线时,通常在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形,如: 例如:如图3-1 :已知 AD为 ABC的中线,且 1 2, 3 4, 求证: BECF EF。 分析:要证BE CF EF ,可利用三角形三边关系定理证明,须把BE , CF,EF 移到同一个三角形中,而由已知1 2, 3 4,可在角的两边截取相等的线 段,利用三角形全等对应边相等,把EN ,FN, EF 移
5、到同 一个三角形中。 证明: 在 DA 上截取DN DB ,连接NE , NF ,则 DN DC , 在 DBE和 DNE 中: )( )(21 )( 公共边 已知 辅助线的作法 EDED DBDN DBE DNE (SAS ) BE NE (全等三角形对应边相等) 同理可得: CFNF 在 EFN中 EN FNEF(三角形两边之和大于第三边) BE CF EF。 注意:当证题有角平分线时,常可考虑在角的两边截取相等的线段,构造全等 三角形,然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。 四、有以线段中点为端点的线段时,常延长加倍此线段,构造全等三角形。 例如:如图4-1:AD 为 ABC 的中线,
6、且 1 2, 3 4,求证: BE CF EF 证明 :延长 ED至 M ,使 DM=DE ,连接 CM ,MF 。在 BDE和 CDM 中, )( )(1 )( 辅助线的作法 对顶角相等 中点的定义 MDED CDM CDBD BDE CDM (SAS ) 又1 2, 3 4 (已知) 1 2 3 4180( 平角的定义 ) 3 2=90 即:EDF 90 FDM EDF 90 在 EDF和 MDF中 )( )( )( 公共边 已证 辅助线的作法 DFDF FDMEDF MDED EDF MDF ( SAS ) EF MF (全等三角形对应边相等) 在 CMF中, CFCM MF (三角形两
7、边之和大于第三边) BE CFEF 注:上题也可加倍FD,证法同上。 A B C D EF N 13图 1 23 4 14图 A B C D EF M 1 23 4 3 / 9 注意:当涉及到有以线段中点为端点的线段时,可通过延长加倍此线段,构造全 等三角形,使题中分散的条件集中。 五、有三角形中线时,常延长加倍中线,构造全等三角形。 例如:如图5-1 :AD为 ABC的中线,求证:AB AC 2AD 。 分析:要证AB AC 2AD ,由图想到:AB BDAD,AC CD AD ,所以有ABAC BDCD ADAD 2AD ,左边比要证结论多BD CD ,故不能直接证出此题,而由 2AD想到
8、要构造2AD ,即加倍中线,把所要证的线段转移到同一个三角形中去。 证明:延长AD 至 E,使 DE=AD ,连接BE ,则 AE 2AD AD为 ABC的中线(已知) BD CD (中线定义) 在 ACD和 EBD中 )( )( )( 辅助线的作法 对顶角相等 已证 EDAD EDBADC CDBD ACD EBD (SAS ) BE CA (全等三角形对应边相等) 在 ABE中有: AB BE AE (三角形两边之和大于第三边) AB AC 2AD 。 (常延长中线加倍,构造全等三角形) 练习:已知ABC ,AD是 BC边上的中线,分别以AB 边、 AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形,
9、如图5- 2, 求证 EF2AD 。 六、截长补短法作辅助线。 例如:已知如图6-1 :在 ABC中, AB AC , 1 2,P为 AD上任一点。 求证: AB AC PB PC 。 分析:要证:AB AC PBPC ,想到利用三角形三 边关系定理证之,因为欲证的是线段之差,故用两边之 差小于第三边,从而想到构造第三边AB AC ,故可在AB 上截取AN 等于 AC ,得 AB AC BN , 再连接PN ,则 PC PN ,又在 PNB中, PB PN BN , 即: AB AC PB PC 。 证明:(截长法) 在 AB上截取 AN AC连接 PN , 在 APN和 APC中 )( )(
10、21 )( 公共边 已知 辅助线的作法 APAP ACAN APN APC (SAS ) PC PN (全等三角形对应边相等) 在 BPN中,有 PB PN BN (三角形两边之差小于第三边) BP PC ABAC A BC D E 15图 A BCD E F 25图 4 / 9 证明:(补短法)延长AC 至 M ,使AM AB ,连接 PM , 在 ABP和 AMP中 )( )(21 )( 公共边 已知 辅助线的作法 APAP AMAB ABP AMP (SAS ) PB PM (全等三角形对应边相等) 又在 PCM 中有: CM PM PC(三角形两边之差小于第三边) AB AC PBPC
11、 。 七、延长已知边构造三角形: 例如:如图7-1 :已知 AC BD , AD AC于 A ,BC BD于 B,求证: AD BC 分析:欲证 ADBC ,先证分别含有AD ,BC的三角形全等,有几种方案:ADC与 BCD , AOD与 BOC , ABD 与 BAC ,但根据现有条件,均无法证全等,差角的相等, 因此可设法作出新的角,且让此角作为两个三角形的公共角。 证明 :分别延长DA ,CB ,它们的延长交于E点, AD AC BC BD (已知) CAE DBE 90 (垂直的定义) 在 DBE与 CAE中 )( )( )( 已知 已证 公共角 ACBD CAEDBE EE DBE
12、CAE (AAS ) EDEC EBEA (全等三角形对应边相等) EDEA EC EB 即: AD BC。 (当条件不足时,可通过添加辅助线得出新的条件,为证题创造条件。) 八 、连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决。 例如:如图8-1 :AB CD ,AD BC 求证: AB=CD 。 分析:图为四边形,我们只学了三角形的有关知识,必须把它转化为三角形来解 决。 证明 :连接 AC (或 BD ) AB CD ADBC (已知) 1 2, 3 4 (两直线平行,内错角相等) 在ABC与 CDA中 )(43 )( )(21 已证 公共边 已证 CAAC ABC CDA (A
13、SA ) AB CD (全等三角形对应边相等) 九、有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长。 例如:如图9-1:在 RtABC中, AB AC , BAC 90, 1 2,CEBD的延长 于 E 。求证: BD 2CE A B C D N M P 16图 12 A BC D 18图 1 2 3 4 A B CD E 17图 O 5 / 9 分析: 要证BD 2CE ,想到要构造线段2CE ,同时CE 与 ABC 的平分线垂直,想到 要将其延长。 证明:分别延长BA ,CE交于点 F。 BE CF (已知) BEF BEC 90 (垂直的定义) 在 BEF与 BEC中, )( )( )(2
14、1 已证 公共边 已知 BECBEF BEBE BEF BEC (ASA ) CE=FE= 2 1 CF (全 等三角形对应边相等) BAC=90 BE CF (已知) BAC CAF 90 1 BDA 90 1 BFC 90 BDA BFC 在 ABD与 ACF中 )( )( )( 已知 已证 已证 ACAB BFCBDA CAFBAC ABD ACF (AAS ) BD CF (全等三角形对应边相等)BD2CE 十、连接已知点,构造全等三角形。 例如:已知:如图10-1; AC 、BD相交于O 点,且AB DC ,AC BD ,求证: A D。 分析:要证A D,可证它们所在的三角形ABO
15、和 DCO全等,而只有ABDC 和对顶角两个条件,差一个条件,难以证其全等,只有另寻其它的三角形全等,由AB DC ,AC BD ,若连接BC ,则 ABC和 DCB全等,所以,证得A D。 证明:连接BC ,在 ABC和 DCB中 )( )( )( 公共边 已知 已知 CBBC DBAC DCAB ABC DCB (SSS) A D ( 全等三角形对应边相等) 十一、取线段中点构造全等三有形。 例如:如图11-1: AB DC , A D 求证: ABC DCB 。 分析:由AB DC , A D,想到如取AD的中点 N,连接 NB ,NC ,再由 SAS公理有 ABN DCN ,故BN C
16、N , ABN DCN 。下面只需证NBC NCB ,再取BC 的中点 M ,连接 MN ,则由 SSS公理有 NBM NCM ,所以 NBC NCB 。问题得证。 证明:取AD ,BC的中点N、M ,连接NB ,NM ,NC 。则 AN=DN ,BM=CM ,在 ABN和 DCN中 )( )( )( 已知 已知 辅助线的作法 DCAB DA DNAN ABN DCN ( SAS ) 19图 D CB AE F 1 2 D CB A 110图 O 6 / 9 ABN DCN NB NC (全等三角形对应边、角相等) 在 NBM 与 NCM 中 )( )( )( 公共边 辅助线的作法 已证 NM
17、NM CMBM NCNB NMB NCM , (SSS) NBC NCB (全等三角形对应角 相等) NBC ABN NCB DCN 即 ABC DCB 。 巧求三角形中线段的比值 例 1. 如图 1,在ABC中,BD :DC 1:3,AE :ED 2:3,求 AF:FC 。 解:过点 D作 DG/AC ,交 BF于点 G所以 DG :FC BD :BC 因为 BD :DC 1:3 所以 BD :BC 1:4 即 DG :FC 1:4,FC 4DG 因为 DG :AF DE :AE又因为 AE :ED 2:3 所以 DG :AF 3:2 即所以 AF:FC :4DG 1:6 例 2. 如图 2
18、,BC CD ,AF FC ,求 EF :FD 解:过点 C作 CG/DE交 AB于点 G ,则有 EF:GC AF :AC 因为 AF FC所以 AF:AC 1:2 即 EF :GC 1:2 111图 D C B A M N 7 / 9 因为 CG :DE BC :BD又因为 BC CD 所以 BC :BD 1:2CG :DE 1:2 即 DE 2GC 因为 FD ED EF所以 EF:FD 小结:以上两例中,辅助线都作在了“已知”条件中出现的两条已知线段的交点处,且所作的辅助线与 结论中出现的线段平行。请再看两例,让我们感受其中的奥妙! 例 3. 如图 3,BD :DC 1:3,AE :E
19、B 2:3,求 AF :FD。 解:过点 B作 BG/AD,交 CE延长线于点 G 。所以 DF :BG CD :CB 因为 BD :DC 1:3 所以 CD :CB 3:4 即 DF :BG 3:4 因为 AF :BG AE :EB又因为 AE :EB 2:3 所以 AF :BG 2:3 即 所以 AF :DF 例 4. 如图 4,BD :DC 1:3,AF FD ,求 EF :FC 。 图 4 8 / 9 解:过点 D作 DG/CE ,交 AB于点 G 所以 EF :DG AF:AD 因为 AF FD所以 AF:AD 1:2 即 EF :DG 1:2 因为 DG :CE BD :BC 又因为 BD :CD 1:3 所以 BD :BC 1:4 即 DG :CE 1:4 CE 4DG 因为 FC CE EF 所以 EF :FC 1:7 练习: 1. 如图 5,BD DC ,AE :ED 1:5,求 AF :FB 。 2. 如图 6,AD :DB 1:3,AE :EC 3:1,求 BF :FC 。 9 / 9 答案: 1. 1 :10;2. 9 :1
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