初三数学复习圆的认识与证明.pdf
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1、1 / 9 初三数学复习圆的认识与证明 【知识网络】 【考纲通鉴 】 理解圆及其有关概念,了解弧、弦、圆心角的关系,了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系. 了解圆的性质,了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征. 了解三角形的内心和外心. 了解切线的概念、切线与过切点的半径之间的关系;能判定一条直线是否为圆的切线,会过圆上一点画 圆的切线 . 会计算弧长及扇形的面积,会计算圆锥的侧面积和全面积. 【知识精要 】 一、圆的认识 1圆的定义:圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 2有关概念:弦、直径,弧、等弧、优弧、劣弧、半圆、弦心距、弧、优弧、劣弧。在同圆或等圆中,能 够互相重合的弧叫
2、做等弧。等圆、同心圆、同圆或等圆的半径相等。 3定理:不在同一直线上的三点确定一个圆。 4(补充)垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对应的两条弧。 对于一个圆和一条直线来说,如果具备下列五个条件中的任何两个,那么也具有其它三个;(1)垂直于 弦;( 2)过圆心;( 3)平分弦;( 4)平分弦所对的优弧;(5) 平分弦所对的劣弧。 其中重点注意:(2)( 3)(1)( 4)( 5),所平分的弦要不是直径。 垂径定理及其推论反映了圆的重要性质,是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据,同时也为进行 圆的计算和作图提供了方法和依据。 5与圆有关的角: 圆心角,圆心角定理:在同圆或等圆
3、中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等。 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们 所对应的其余各组量都分别相等。 圆 圆的基本性质 弧、弦、圆心角的关系 圆周角定理与推论 垂径定理与推论 圆的基本性质 与圆有关的 位置关系 点与圆的位置关系 直线与圆的 位置关系 圆与圆的位置关系 圆的切线 切线性质与识别 切线长 圆中的计算 弧长、扇形面积 圆柱、圆锥的全面积、侧面积 2 / 9 圆周角,圆周角定理:一条弧所对的圆周等于它所对的圆心角的一半。 注意:一、由于圆特殊的对称性,造成点与圆心相对位置不同,就有可能产生双解情况。 1、点 O是A
4、BC的外心,BOC80,则 A=. 解读:应考虑外心O在ABC的内部和外部两种情况A=40, 140 2、点 C是直径 AB=13的半圆上的一点, ABCD 于 D点,且 CD=6 ,则 AD=. 解读:点 A,D 应分在圆心同侧或异侧,AD=4 ,9 3、(江西) O中,AB 是直径, CD是弦,CDAB,P是圆周上一点,判断CPD与COB的数量关 系。 4、(山西) AB,AC与O 相切于 B、C,A=50,点 P是圆上异于B 、C的一点,则BPC 的度数是 . 解读:点 P可能在优弧或劣弧上,故第3 题 CPD=COB或CPD+COB =180;第 4 题 65, 115。 二、凡涉及到
5、有关弦的计算都有可能产生双解,解答它的关键是综合考虑弦与圆心的不同位置,弦所对的 弧的不同情况。 例如: 1、 O中弦 AB所对的圆心角为60,则所对的圆周角为. (30,150 ) 2、 O的半径为 5,圆内接ABC的底边 AB长为 8,求ABC底边上的高CD长为 .(8 ,2) 3、 O的半径为 5,弦 ABCD ,AB=6 ,CD=8 ,求 AB与 CD之间的距离 1 或 7. 4、( 新疆 ) O的半径为 10,它的内接梯形的上、下底分别为12 和 16,则,梯形的面积是.(28 或 196) 5、(辽宁)在半径为1 的O中,弦 AB,AC分别为 2,3 ,则BAC 的度数为 . (1
6、5, 75) 解读: 1、2、应考虑顶点在弦AB 所对的优弧或劣弧;3、4、5 应考虑两弦在圆心的同侧或异侧。 三、圆中的有关计算通常与垂径定理以及解直角三角形知识相联系,注意由半径,弦心距以及弦的一半构 成的基本形。 二、和圆有关的位置关系 1 点与圆的位置关系 三种位置及判定与性质:点在圆外:dr;点在圆上: d=r;点在圆内: dr 。 切线的判定与性质:(1)垂直于切线。 (2)过圆心。 (3)过切点这三条性质中,任意知道两个 ,就可以推出第三 个. 切线长,切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条 切线的夹角。 三角形的内切圆;内心是三角形角
7、平分线的交点;圆的外切三角形。 3圆与圆的位置关系 五种位置关系及判定与性质:( 重点:相切 ) 相切(交)两圆连心线的性质定理:相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 两圆的公切线:外公切线,内公切线;公切线的长。 注意:一、点与圆有三种位置关系,不同的位置关系,会产生多解情况。 1、(河南)点P与O 上的点的最短距离为2,圆的半径为4,则点 P与O 上点的最长距离为. 解读:点 P分在圆内,圆外,故为6 或 10。 2、(四川)已知O的直径是 6,P 为直线l上一点, OP=3 ,那么直线 l与O 的关系是 . 解读:若 OP与直线垂直,则直线与圆相切;若不垂直,则直线与圆相交。 3 /
8、9 二、由圆与圆的位置关系不定而产生的多解。 1、O1的半径为 4,O2的直径为 5,切两圆相切,则圆心距是, (1 或 9) 解读:两圆分内切与外切。 2、(哈尔滨)O的半径为 53 ,O 的半径为5,O 与O 相交于点D、E。若两圆的公共弦DE的 长是 6,则两圆的圆心距OO 的长为 . 解读:两圆相交时,圆心可在公共弦的同侧或异侧,故长为2 或 10。 三、与圆有关的计算 1. 弧长:半径为 r 的圆周中, n 的圆心角所对的弧长l 的计算公式: l= 180 rn 2扇形,扇形面积:在半径为 r的扇形中,圆心角为 n的扇形面积的计算公式是:S扇形=nr 2 360 3圆锥的侧面展开图是
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