高考数学-三角函数大题综合训练.pdf
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1、三角函数大题综合训练 一解答题(共30 小题) 1(2016?白山一模)在ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 已知= (1)求角 C 的大小, (2)若 c=2,求使 ABC 面积最大时a,b 的值 2 ( 2016?广州模拟)在 ABC 中,角 A、B、C 对应的边分别是a、b、 c,已知 3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos 2 A (I)求角 A 的大小; ()若 ABC 的面积 S=5,b=5,求 sinBsinC 的值 3 ( 2016?成都模拟)已知函数f(x)=cos 2x sinxcosxsin 2x ()求函数f(x)取得最大值时
2、x 的集合; ()设 A、B、C 为锐角三角形ABC 的三个内角,若cosB=,f(C) =,求 sinA 的 值 4 (2016?台州模拟) 已知 a,b,c 分别是 ABC 的三个内角A,B,C 所对的边, 且 c 2=a2+b2 ab (1)求角 C 的值; (2)若 b=2, ABC 的面积,求 a 的值 5(2016?惠州模拟) 如图所示, 在四边形ABCD 中,D=2B, 且 AD=1 , CD=3 , cosB= ()求 ACD 的面积; ()若 BC=2,求 AB 的长 6 (2015?山东) ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知 cosB=,sin (A
3、+B ) =,ac=2,求 sinA 和 c 的值 7 ( 2015?新课标 I)已知 a,b,c 分别是 ABC 内角 A,B,C 的对边, sin 2B=2sinAsinC ()若a=b,求 cosB; ()设 B=90 ,且 a=,求 ABC 的面积 8 ( 2015?湖南)设 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为a,b,c,a=btanA ()证明: sinB=cosA ; ()若sinCsinAcosB=,且 B 为钝角,求A,B,C 9 (2015?新课标 II)ABC 中, D 是 BC 上的点, AD 平分 BAC ,ABD 面积是 ADC 面积的 2 倍 (1)求; (
4、2)若 AD=1 , DC=,求 BD 和 AC 的长 10 (2015?湖南)设 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c,a=btanA,且 B 为钝 角 ()证明: BA=; ()求sinA+sinC 的取值范围 11 (2015?四川)已知 A、B、C 为ABC 的内角, tanA,tanB 是关于方程x 2+ pxp+1=0 (p R)两个实根 ()求 C 的大小 ()若 AB=3 ,AC=,求 p 的值 12 (2015?河西区二模) 设 ABC 的内角 A,B,C 的内角对边分别为a,b,c,满足(a+b+c) (ab+c)=ac ()求 B ()若sinAsinC=,
5、求 C 13 (2015?浙江)在 ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知 A=,b 2 a2= c 2 (1)求 tanC 的值; (2)若 ABC 的面积为3,求 b 的值 14 (2015?陕西) ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c向量=(a,b) 与=(cosA,sinB)平行 ()求 A; ()若a=,b=2,求 ABC 的面积 15 (2015?江苏)在 ABC 中,已知AB=2 ,AC=3 ,A=60 (1)求 BC 的长; (2)求 sin2C 的值 16 (2015?天津)在 ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知
6、ABC 的面 积为 3,b c=2,cosA= ()求a和 sinC 的值; ()求cos(2A+)的值 17 (2015?怀化一模)已知a,b,c 分别为 ABC 三个内角A,B, C 的对边, c=asinC ccosA (1)求角 A; (2)若 a=2, ABC 的面积为,求 b,c 18 (2015?甘肃一模)在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,且 bcosC=3acosB ccosB ()求cosB 的值; ()若,且,求 a 和 c 的值 19 (2015?衡水四模) 在ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 函数 f ( x) =2c
7、osxsin (xA)+sinA (x R)在 x=处取得最大值 (1)当时,求函数f(x)的值域; (2)若 a=7 且 sinB+sinC=,求 ABC 的面积 20 (2015?潍坊模拟)已知函数f(x)=2cos 2x+2 sinxcosx (x R) ()当x 0,时,求函数f(x)的单调递增区间; ()设 ABC 的内角 A,B,C 的对应边分别为a,b,c,且 c=3,f( C)=2,若向量= (1,sinA)与向量=( 2,sinB)共线,求a,b 的值 21 (2015?济南二模)已知向量=(cos(2x) , cosx+sinx) ,=(1,cosxsinx) , 函数 f
8、(x)= ()求函数f(x)的单调递增区间; ()在 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知 f(A)=,a=2,B=, 求 ABC 的面积 S 22 (2015?和平区校级三模)在 ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为a,b,c,且 a=3, b=4,B=+A (1)求 cosB 的值; (2)求 sin2A+sinC 的值 23 (2015?洛阳三模)在锐角ABC 中,= (1)求角 A; (2)若 a=,求 bc 的取值范围 24 (2015?河北区一模)在ABC 中, a,b, c 分别是角A,B,C 的对边,且 2cosAcosC+1=2sinAsinC ()
9、求 B 的大小; ()若,求 ABC 的面积 25(2015?云南一模)在ABC 中, a, b, c 分别是内角A, B, C 的对边,且= (sinA+sinB+sinC , sinC) ,=(sinB,sinB+sinC sinA) ,若 (1)求 A 的大小; (2)设为ABC 的面积,求的最大值及此时B 的值 26 (2015?历下区校级四模)已知向量, 若 ()求函数 f( x)的最小正周期; ()已知 ABC 的三内角A、B、C 的对边分别为a、b、c,且 a=3, (A 为锐角),2sinC=sinB,求 A、c、b 的值 27 (2015?高安市校级模拟)在ABC 中,角 A
10、、B、C 所对的边分别为a、b、c,已知 sin (A+) +2cos(B+C )=0, (1)求 A 的大小; (2)若 a=6,求 b+c 的取值范围 28 (2015?威海一模) ABC 中, A,B,C 所对的边分别为a,b,c, sin(BA) =cosC ()求 A,B,C; ()若SABC=3+ ,求 a,c 29 (2015?新津县校级模拟)已知向量 ,函数 f(x)= ()求函数f(x)的单调递增区间; ()在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,若 f( B)=1,b=,sinA=3sinC , 求 ABC 的面积 30 (2015?和平区二模)在ABC 中
11、,角 A, B,C 为三个内角,已知cosA=,cosB=, BC=5 ()求 AC 的长; ()设 D 为 AB 的中点,求CD 的长 三角函数大题综合训练 参考答案与试题解析 一解答题(共30 小题) 1(2016?白山一模)在ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c, 已知= (1)求角 C 的大小, (2)若 c=2,求使 ABC 面积最大时a,b 的值 【考点】 正弦定理;余弦定理 【专题】 解三角形 【分析】 (1)已知等式左边利用正弦定理化简,右边利用诱导公式变形,整理后再利用两角 和与差的正弦函数公式及诱导公式变形,根据sinA 不为 0 求出 cosC
12、的值,即可确定出C 的度数; (2)利用余弦定理列出关系式,将 c 与 cosC 的值代入并利用基本不等式求出ab 的最大值, 进而确定出三角形ABC 面积的最大值,以及此时a 与 b 的值即可 【解答】 解: (1) A+C= B,即 cos(A+C )=cosB, 由正弦定理化简已知等式得:=, 整理得: 2sinAcosC+sinBcosC= sinCcosB,即 2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin (B+C) =sinA , sinA 0, cosC=, C 为三角形内角, C=; () c=2,cosC=, 由余弦定理得:c2=a2+b22abcosC,即
13、 4=a2+b 2+ab 2ab+ab=3ab, ab , (当且仅当a=b 时成立), S=absinC=ab, 当 a=b 时, ABC 面积最大为,此时 a=b=, 则当 a=b=时, ABC 的面积最大为 【点评】 此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,以及基本不等式的运用,熟练掌 握定理及公式是解本题的关键 2 ( 2016?广州模拟)在 ABC 中,角 A、B、C 对应的边分别是a、b、 c,已知 3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos 2 A (I)求角 A 的大小; ()若 ABC 的面积 S=5,b=5,求 sinBsinC 的值 【考点】 正弦定理;余弦
14、定理 【专题】 解三角形 【分析】(I)利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简 3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos 2 A,得到 cosA 的值,即可求解A (II )通过三角形的面积求出b、c 的值,利用余弦定理以及正弦定理求解即可 【解答】 解: (I)由 3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos 2A,得 2cos 2A+3cosA 2=0,( 2 分) 即( 2cosA 1) (cosA+2)=0 解得 cosA=或 cosA=2(舍去)(4 分) 因为 0 A ,所以 A=(6 分) (II )由 S=bcsinA=bc?=bc=5,得 bc=20
15、又 b=5,所以 c=4(8 分) 由余弦定理,得a 2=b2+c22bccosA=25+16 20=21,故 a= ( 10 分) 又由正弦定理,得sinBsinC=sinA ? sinA=?sin2A= =(12 分) 【点评】 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用,两角和与差的三角函数,考查转化思想以 及计算能力 3 ( 2016?成都模拟)已知函数f(x)=cos 2x sinxcosxsin 2x ()求函数f(x)取得最大值时x 的集合; ()设 A、B、C 为锐角三角形ABC 的三个内角,若cosB=,f(C) =,求 sinA 的 值 【考点】 正弦定理;三角函数中的恒等变换应用
16、 【专题】 转化思想;综合法;解三角形 【分析】()由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用余弦函数的值域求得函 数 f(x)取得最大值时x 的集合 ()由条件求得cos(2C+)=,C=,求出 sinB 的值,再根据sinA=sin (B+C) 求得它的值 【解答】 解: ()函数f(x)=cos 2x sinxcosxsin 2x=cos2x sinxcosx+(cos 2x sin 2x ) =sin2x+cos2x=+cos( 2x+) , 故函数取得最大值为,此时, 2x+=2k时,即 x 的集合为x|x=k , k Z () 设 A、B、C 为锐角三角形ABC 的三个内角,
17、若 cosB= ,f(C)=+cos(2C+) =, cos ( 2C+) =, 又 A、 B、 C 为锐角三角形ABC 的三个内角, 2C+=, C= cosB=, sinB=, sinA=sin (B+C)=sinBcosC+cosBsinC=+= 【点评】 本题主要考查三角恒等变换,余弦函数的值域,同角三角函数的基本关系,属于中 档题 4 (2016?台州模拟) 已知 a,b,c 分别是 ABC 的三个内角A,B,C 所对的边, 且 c 2=a2+b2 ab (1)求角 C 的值; (2)若 b=2, ABC 的面积,求 a 的值 【考点】 余弦定理;三角形的面积公式 【专题】 解三角形
18、 【分析】(1)利用余弦定理,可求角C 的值; (2)利用三角形的面积公式,可求a 的值 【解答】 解: (1) c2=a2+b2ab, cosC=, 0 C180 , C=60 ; (2) b=2,ABC 的面积, =, 解得 a=3 【点评】 本题考查余弦定理的运用,考查三角形面积的计算,正确运用公式是关键 5(2016?惠州模拟) 如图所示, 在四边形ABCD 中,D=2B, 且 AD=1 , CD=3 , cosB= ()求 ACD 的面积; ()若 BC=2,求 AB 的长 【考点】 余弦定理的应用;正弦定理 【专题】 解三角形 【分析】()利用已知条件求出D 角的正弦函数值,然后求
19、ACD 的面积; ()利用余弦定理求出AC ,通过 BC=2,利用正弦定理求解AB 的长 【解答】(共 13 分) 解: ()因为D=2B, 所以 (3 分) 因为 D (0, ) , 所以 ( 5 分) 因为AD=1 ,CD=3 , 所以 ACD 的面积 (7 分) ()在 ACD 中, AC 2=AD2+DC2 2AD ?DC?cosD=12 所以 (9 分) 因为, (11 分) 所以 所以AB=4 (13 分) 【点评】 本题考查余弦定理以及正弦定理的应用,基本知识的考查 6 (2015?山东) ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知 cosB=,sin (A+B
20、) =,ac=2,求 sinA 和 c 的值 【考点】 正弦定理;两角和与差的正弦函数 【专题】 解三角形 【分析】 利用两角和与差的正弦函数公式以及基本关系式,解方程可得; 利用正弦定理解之 【解答】 解: 因为 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c 已知 cosB=, sin(A+B )=, ac=2,所以 sinB=,sinAcosB+cosAsinB=, 所以 sinA+cosA=,结合平方关系sin 2A+cos2A=1, 得 27sin2A 6 sinA16=0, 解得 sinA=或者 sinA= (舍去); 由正弦定理,由 可知 sin(A+B )=sinC=,s
21、inA=, 所以 a=2c,又 ac=2,所以 c=1 【点评】 本题考查了利用三角函数知识解三角形,用到了两角和与差的正弦函数、同角三角 函数的基本关系式、正弦定理等知识 7 ( 2015?新课标 I)已知 a,b,c 分别是 ABC 内角 A,B,C 的对边, sin 2B=2sinAsinC ()若a=b,求 cosB; ()设 B=90 ,且 a=,求 ABC 的面积 【考点】 正弦定理;余弦定理 【专题】 解三角形 【分析】(I)sin2B=2sinAsinC ,由正弦定理可得: b 2 =2ac,再利用余弦定理即可得出 (II )利用( I)及勾股定理可得c,再利用三角形面积计算公
22、式即可得出 【解答】 解: (I) sin2B=2sinAsinC , 由正弦定理可得:0, 代入可得( bk) 2=2ak?ck, b2=2ac, a=b, a=2c, 由余弦定理可得:cosB= (II )由( I)可得: b2=2ac, B=90 ,且 a=, a2+c 2=2ac,解得 a=c= SABC= =1 【点评】 本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题 8 ( 2015?湖南)设 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为a,b,c,a=btanA ()证明: sinB=cosA ; ()若sinCsinAcosB=,
23、且 B 为钝角,求A,B,C 【考点】 正弦定理 【专题】 解三角形 【分析】()由正弦定理及已知可得=,由 sinA 0,即可证明sinB=cosA ()由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinCsinAcosB=cosAsinB=,由( 1) sinB=cosA ,可得 sin 2B= ,结合范围可求B,由 sinB=cosA 及 A 的范围可求A,由三角形 内角和定理可求C 【解答】 解: ()证明:a=btanA =tanA, 由正弦定理:,又 tanA=, =, sinA 0, sinB=cosA 得证 () sinC=sin ( A+B )=sin(A+B ) =sinAcosB+
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