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1、13 因动点产生的直角三角形问题 课前导学 我们先看三个问题: 1已知线段AB,以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个?顶点C的轨迹是什 么? 2 已知线段AB, 以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个?顶点C的轨迹是什么? 3已知点A(4,0) ,如果OAB是等腰直角三角形,求符合条件的点B的坐标 图 1 图 2 图 3 如图 1,点C在垂线上,垂足除外如图2,点C在以AB为直径的圆上,A、B两点除 外如图3,以OA为边画两个正方形,除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点, 都是符合题意的点B,共 6 个 解直角三角形的存在性问题,一般分三步走,第一步寻找分类标准,第二步列方
2、程,第 三步解方程并验根 一般情况下,按照直角顶点或者斜边分类,然后按照三角比或勾股定理列方程 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便 解直角三角形的问题,常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起 如果直角边与坐标轴不平行,那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线,可以构造两个新 的相似直角三角形,这样列比例方程比较简便 如图 4,已知A(3, 0),B(1, 4),如果直角三角形ABC的 顶点C在y轴上,求点C的坐标 我们可以用几何的方法,作AB为直径的圆,快速找到两个 符合条件的点C 如果作BDy轴于D,那么AOCCDB 设OCm,那么 34 1 m m 这个方程有两个解, 分
3、别对应图中圆与y轴的两个交 点图 4 例 19 2015年湖南省益阳市中考第21 题 如图 1,已知抛物线E1:yx 2 经过点A(1,m) ,以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2), 点A、B关于y轴的对称点分别为点A、B (1)求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式; (2)如图 1,在第一象限内,抛物线E1上是否存在点Q,使得以点Q、B、B为顶点的 三角形为直角三角形?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由; (3)如图 2,P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点,连结OP并延长与抛 物线E2相交于点P,求PAA与PBB的面积之比 图 1 图 2 动感体验 请打开
4、几何画板文件名“15 益阳 21” ,拖动点P在抛物线E1上运动,可以体验到,点P 始终是线段OP的中点还可以体验到,直角三角形QBB有两个 思路点拨 1判断点P是线段OP的中点是解决问题的突破口,这样就可以用一个字母表示点P、 P的坐标 2分别求线段AABB,点P到AA的距离点P到BB的距离,就可以比较 PAA与PBB的面积之比 图文解析 (1)当x 1 时,yx 21,所以 A(1, 1),m1 设抛物线E2的表达式为yax 2,代入点 B(2,2),可得a 1 2 所以y 1 2 x 2 (2)点Q在第一象限内的抛物线E1上,直角三角形QBB存在两种情况: 图 3 图 4 如图 3,过点
5、B作BB的垂线交抛物线E1于Q,那么Q(2, 4) 如图 4,以BB为直径的圆D与抛物线E1交于点Q,那么QD 1 2 BB2 设Q(x, x 2) ,因为 D(0, 2),根据QD 24 列方程 x 2( x 2 2)24 解得x3此时Q(3,3) (3)如图 5,因为点P、P分别在抛物线E1、E2上,设P(b, b 2) ,P (c, 21 2 c ) 因为O、P、P三点在同一条直线上,所以 PPMN OMON ,即 2 2 1 2 c b bc 所以c2b所以P (2b, 2b 2) 如图 6,由A(1, 1)、B(2,2) ,可得AA 2,BB 4 由A(1, 1)、P(b, b 2) ,可得点 P到直线AA的距离PM b 21 由B(2,2) 、P(2b, 2b 2) ,可得点 P到直线BB的距离PN 2b 22 所以PAA与PBB的面积比 2(b 21) 4(2 b 22)14 图5 图6 考点延伸 第( 2)中当BQB 90时,求点Q(x, x 2) 的坐标有三种常用的方法: 方法二,由勾股定理,得BQ 2 BQ 2 BB 2 所以 (x2) 2( x 22)2( x2) 2( x 22)242 方法三,作QHBB于H,那么QH 2 BHBH 所以 (x 22)2( x2) (2 x)
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