人教版高中数学必修4课后习题答案详解.pdf
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1、数学必修四答案详解 第 1 页 共 1 页 数学必修四答案详解 第 2 页 共 2 页 数学必修四答案详解 第 3 页 共 3 页 数学必修四答案详解 第 4 页 共 4 页 数学必修四答案详解 第 5 页 共 5 页 数学必修四答案详解 第 6 页 共 6 页 数学必修四答案详解 第 7 页 共 7 页 数学必修四答案详解 第 8 页 共 8 页 数学必修四答案详解 第 9 页 共 9 页 数学必修四答案详解 第 10 页 共 10 页 数学必修四答案详解 第 11 页 共 11 页 数学必修四答案详解 第 12 页 共 12 页 数学必修四答案详解 第 13 页 共 13 页 数学必修四答
2、案详解 第 14 页 共 14 页 数学必修四答案详解 第 15 页 共 15 页 数学必修四答案详解 第 16 页 共 16 页 数学必修四答案详解 第 17 页 共 17 页 数学必修四答案详解 第 18 页 共 18 页 数学必修四答案详解 第 19 页 共 19 页 数学必修四答案详解 第 20 页 共 20 页 数学必修四答案详解 第 21 页 共 21 页 数学必修四答案详解 第 22 页 共 22 页 数学必修四答案详解 第 23 页 共 23 页 数学必修四答案详解 第 24 页 共 24 页 第二章平面向量 21 平面向量的实际背景及基本概念 练习 (P77) 1、略. 2、
3、AB,BA. 这两个向量的长度相等,但它们不等. 3、2AB,2.5CD,3EF,2 2GH. 4、 (1)它们的终点相同;(2)它们的终点不同 . 习题 2.1 A 组(P77) 1、 30 45 C A O B (2) D C B A . 3、与DE相等的向量有:,AF FC;与EF相等的向量有:,BD DA; 与FD相等的向量有:,CE EB. 4、与a相等的向量有: ,CO QP SR;与b相等的向量有:,PM DO; 与c相等的向量有:,DC RQ ST 5、 3 3 2 AD. 6、 (1);(2);(3);(4). 习题 2.1 B 组(P78) 1、海拔和高度都不是向量. 2、
4、 相等的向量共有24 对. 模为 1 的向量有 18 对. 其中与AM同向的共有 6 对, 与AM反向的也有 6 对;与AD同向的共有 3 对,与AD反向的也有 6 对;模为2 的向量共有 4 对;模为 2 的向量有 2 对 数学必修四答案详解 第 25 页 共 25 页 水流方向 C DA B 22 平面向量的线性运算 练习 (P84) 1、图略. 2、图略 . 3、 (1)DA;(2)CB. 4、 (1)c;(2)f;(3)f;(4)g. 练习 (P87) 1、图略. 2、DB,CA,AC,AD,BA. 3、图略 . 练习 (P90) 1、图略. 2、 5 7 ACAB, 2 7 BCAB
5、. 说明:本题可先画一个示意图,根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是BC 与AB反向. 3、 (1)2ba;(2) 7 4 ba;(3) 1 2 ba;(4) 8 9 ba. 4、 (1)共线;(2)共线 . 5、 (1)32ab;(2) 111 123 ab;(3)2ya. 6、图略 . 习题 2.2 A 组(P91) 1、 (1)向东走 20 km;(2)向东走 5 km;(3)向东北走10 2km; (4)向西南走5 2km; (5)向西北走10 2km; (6)向东南走10 2km. 2、 飞机飞行的路程为700 km; 两次位移的合成是向北偏西53方向飞行 500 km. 3、解
6、:如右图所示:AB表示船速,AD表示河水 的流速,以AB、AD为邻边作ABCD,则 AC表示船实际航行的速度 . 在 RtABC 中,8AB, 2AD, 所以 22 22 822 17ACABAD 因为tan4CAD,由计算器得76CAD 所以,实际航行的速度是2 17 km/h, 船航行的方向与河岸的夹角约为76. 4、 (1)0; (2)AB; (3)BA; (4)0; (5)0; (6)CB; (7) 0. 数学必修四答案详解 第 26 页 共 26 页 5、略 6、不一定构成三角形 . 说明:结合向量加法的三角形法则,让学生理解, 若三 个非零向量的和为零向量,且这三个向量不共线时,则
7、表示这三个向量的有向线段 一定能构成三角形 . 7、略. 8、 (1)略;(2)当ab时,abab 9、 (1)22ab;(2)10 2210abc;(3) 1 3 2 ab;(4)2()xy b. 10、 1 4abe, 12 4abee, 12 32310abee. 11、如图所示,OCa,OD b, DCba,BCab. 12、 1 4 AEb,BCba, 1 () 4 DEba, 3 4 DBa, 3 4 ECb, 1 () 8 DNba, 11 () 48 ANAMab. 13、证明:在ABC中,,E F分别是,AB BC的中点, 所以EFAC/且 1 2 EFAC, 即 1 2 E
8、FAC; 同理, 1 2 HGAC, 所以EFHG. 习题 2.2 B 组(P92) 1、丙地在甲地的北偏东45方向,距甲地1400 km. 2、不一定相等,可以验证在,a b不共线时它们不相等 . 3、证明:因为MNANAM,而 1 3 ANAC, 1 3 AMAB, 所以 1111 () 3333 MNACABACABBC. 4、 (1)四边形ABCD为平行四边形,证略 (2)四边形ABCD为梯形 . 证明: 1 3 ADBC, ADBC/ /且ADBC 四边形ABCD为梯形 . (3)四边形ABCD为菱形 . (第 11 题) (第 12 题) (第 13 题) E H G F D C
9、A B 丙 甲 乙 (第 1 题) (第 4 题(2)) B A C D 数学必修四答案详解 第 27 页 共 27 页 证明:ABDC, ABDC/ /且ABDC 四边形ABCD为平行四边形 又ABAD 四边形ABCD为菱形 . 5、 (1)通过作图可以发现四边形ABCD为平行四边形 . 证明:因为OA OBBA,ODOCCD 而OA OCOBOD 所以OA OBODOC 所以BACD,即ABCD. 因此,四边形ABCD为平行四边形 . 23 平面向量的基本定理及坐标表示 练习 (P100) 1、 (1)(3,6)ab,( 7,2)ab;(2)(1 ,11)ab,(7, 5)ab; (3)(
10、0,0)ab,(4,6)ab;(4)(3,4)ab,(3, 4)ab. 2、24( 6, 8)ab,4 3(12,5)ab . 3、 (1)(3,4)AB,( 3, 4)BA;(2)(9, 1)AB,( 9,1)BA; (3)(0,2)AB,(0, 2)BA;(4)(5,0)AB,( 5,0)BA 4、ABCD. 证明:(1 , 1)AB,(1 , 1)CD,所以ABCD.所以AB CD. 5、 (1)(3,2);(2)(1 ,4);(3)(4, 5). 6、 10 (,1) 3 或 14 (, 1) 3 7、 解: 设( , )P x y, 由点P在线段AB的延长线上,且 3 2 APPB,
11、 得 3 2 A PP B (,)( 2, 3)(2,APx yxy,(4, 3)( , )(4, 3)PBx yxy 3 (2,3)(4, 3) 2 xyxy 3 2(4) 2 3 3( 3) 2 xx yy (第 4 题(3)) A D C B A D M O B C (第 5题) 数学必修四答案详解 第 28 页 共 28 页 8 15 x y ,所以点P的坐标为(8, 15). 习题 2.3 A 组(P101) 1、 (1)( 2,1);(2)(0,8);(3)(1 ,2). 说明:解题时可设( , )B x y,利用向量坐标的定义解题. 2、 123 (8,0)FFF 3、解法一:(
12、 1, 2)OA,(5 3,6( 1)(2,7)BC 而ADBC,(1 ,5)ODOAADOABC. 所以点D的坐 标为(1 ,5). 解法二:设( , )D x y,则( 1),( 2)(1,2)ADxyxy, (5 3,6( 1)(2,7)BC 由ADBC可得, 12 27 x y ,解得点D的坐标为(1 ,5). 4、解:(1 ,1)OA, ( 2,4)AB . 1 (1, 2 ) 2 ACAB,2( 4,8)ADAB, 1 (1 , 2) 2 AEAB. ( 0, 3)OCOAAC,所以,点C的坐标为(0,3); (3, 9)ODO AAD ,所以,点D的坐标为( 3,9); ( 2,
13、1)OEOAAE,所以,点E的坐标为(2, 1). 5、由向量,a b共线得(2,3) ( , 6)x,所以 23 6x ,解得4x. 6、(4,4)AB,( 8, 8)CD,2CDAB,所以AB与CD共线 . 7、2(2,4)OAOA,所以点A的坐标为(2,4); 3( 3, 9 )O BOB ,所 以 点B的 坐标 为(3 , 9;故 ( 3,9)(2,4)( 5,5)AB 习题 2.3 B 组(P101) 数学必修四答案详解 第 29 页 共 29 页 1、(1 ,2)OA,(3,3)AB. 当1t时,(4,5)OPOAABOB,所以(4,5)P; 当 1 2 t时, 13 35 7 (
14、1 ,2)( ,)( , ) 22 22 2 OPOAAB,所以 5 7 ( , ) 2 2 P; 当2t时,2(1 ,2)(6,6)( 5, 4)OPOAAB,所以( 5, 4)P; 当2t时,2(1 ,2)(6,6)(7,8)OPOAAB,所以(7,8)P. 2、 (1)因为( 4, 6)AB,(1 ,1.5)AC,所以4ABAC,所以A、B、C三 点共线; (2)因为(1.5, 2)PQ, (6, 8)PR,所以4PRPQ,所以P、Q、R三 点共线; (3)因为( 8, 4)EF,( 1, 0.5)EG,所以8EFEG,所以E、F、G 三点共线 . 3、证明:假设 1 0,则由 1 12
15、2 0ee ,得 2 12 1 ee . 所以 12 ,e e 是共线向量,与已知 12 ,e e是平面内的一组基底矛盾 , 因此假设错误, 1 0. 同理 2 0. 综上 12 0. 4、 (1)19OP. (2)对于任意向量 12 OPxeye, ,x y都是唯一确 定的, 所以向量的坐标表示的规定合理. 24 平面向量的数量积 练习 (P106) 1、 1 cos,8 624 2 p qpqp q. 2、当0a b时,ABC为钝角三角形;当0a b时,ABC为直角三角形 . 3、投影分别为3 2,0,3 2. 图略 练习 (P107) 1、 22 ( 3)45a , 22 5229b ,
16、3 54 27a b. 2、8a b,()()7ab ab,()0abc, 2 ()49ab. 数学必修四答案详解 第 30 页 共 30 页 3、1a b,13a,74b,88. 习题 2.4 A 组(P108) 1、6 3a b, 22 2 ()225 12 3abaa bb,25 12 3ab. 2、BC与CA的夹角为 120,20BC CA. 3、 22 223abaa bb, 22 235abaa bb. 4、证法一:设a与b的夹角为. (1)当0时,等式显然成立; (2)当0时,a与b,a与b的夹角都为, 所以()coscosaba ba b ()cosa ba b ()cosco
17、sababa b 所以()()()aba bab; (3)当0时,a与b,a与b的夹角都为180, 则()cos(180)cosaba ba b ()coscosa ba ba b ()cos(180)cosababa b 所以()()()aba bab; 综上所述,等式成立. 证法二:设 11 ( ,)ax y, 22 (,)bxy, 那么 11221212 ()(,) (,)a bxyx yx xy y 112212121212 ()(,) (,)()a bx yxyx xy yx xy y 11221212 ()( ,) (,)abx yxyx xy y 所以()()()a ba bab
18、; 5、 (1)直角三角形,B为直角 . 数学必修四答案详解 第 31 页 共 31 页 证明:( 1, 4) (5,2)( 6, 6)BA,(3,4)(5,2)( 2,2)BC 6 ( 2)( 6) 20BA BC BABC,B为直角,ABC为直角三角形 (2)直角三角形,A为直角 证明:(19,4)( 2, 3)(21,7)AB,( 1, 6) ( 2, 3)(1 , 3)AC 21 17 ( 3)0AB AC ABAC,A为直角,ABC为直角三角形 (3)直角三角形,B为直角 证明:(2,5)(5,2)( 3,3)BA,(10,7) (5,2)(5,5)BC 3 53 50BA BC B
19、ABC,B为直角,ABC为直角三角形 6、135. 7、120. 22 (23 )(2)44361ababaa bb,于是可得6a b, 1 cos 2 a b a b ,所以120. 8、 23 cos 40 ,55. 9、证明:(5, 2)(1 ,0)(4, 2)AB,(8,4) (5, 2)(3,6)BC, (8,4)(4,6)(4, 2)DC ABDC,4 3( 2) 60AB BC , , ,A B C D为顶点的四边形是矩形. 10、解:设( , )ax y, 则 22 9 2 xy y x ,解得 3 5 5 6 5 5 x y ,或 3 5 5 6 5 5 x y . 数学必修
20、四答案详解 第 32 页 共 32 页 于是 3 5 6 5 (,) 55 a 或 3 56 5 (,) 55 a . 11、解:设与a垂直的单位向量 ( , )ex y, 则 22 1 420 xy xy ,解得 5 5 2 5 5 x y 或 5 5 2 5 5 x y . 于是 52 5 (,) 55 e 或 5 2 5 (,) 55 e . 习题 2.4 B 组(P108) 1、证法一:0()0()a ba ca ba cabcabc 证法二:设 11 (,)ax y , 22 (,)bxy , 33 (,)cx y . 先证()a ba cabc 1212 a bx xy y, 13
21、13 a cx xy y 由a ba c得 12121313 x xy yx xy y,即 1231 ()()0xxxyyy 而 2323 (,)bcxx yy ,所以()0abc 再证()abca ba c 由()0abc得 123123 ()()0x xxy yy, 即 12121313 x xy yxxy y,因此a ba c 2、coscos cossinsin OA OB AOB OA OB . 3、证明:构造向量( , )ua b,( , )vc d. co s,u vu vu v,所以 2222 cos,ac bdabcdu v 2222222222 ()()()cos,()()
22、acbdabcdu vabcd 4、AB AC的值只与弦AB的长有关,与圆的半径无关. C 数学必修四答案详解 第 33 页 共 33 页 证明:取AB的中点M,连接CM, 则CMAB, 1 2 AMAB 又cosAB ACAB ACBAC,而 AM BAC AC 所以 2 1 2 AB ACAB AMAB 5、 (1)勾股定理:Rt ABC中,90C,则 222 CACBAB 证明:ABCB CA 222 2 ()2ABCBCACBCA CBCA. 由90C,有CACB,于是0CA CB 222 CACBAB (2)菱形ABCD中,求证:ACBD 证明:ACABAD,,DBABAD 22 (
23、) ()AC DBABADABADABAD. 四边形ABCD为菱形,ABAD,所以 22 0ABAD 0AC DB,所以ACBD (3)长方形ABCD中,求证:ACBD 证明:四边形ABCD为长方形,所以ABAD,所以0AB AD 2222 22ABAB ADADABAB ADAD. 22 ()()ABADABAD,所以 22 ACBD,所以ACBD (4)正方形的对角线垂直平分. 综合以上( 2) (3)的证明即可 . 25 平面向量应用举例 习题 2.5 A 组(P113) 1、解:设( , )P x y, 11 (,)R x y 则 1111 (1 ,0)(,)(1,)RAx yxy ,
24、( , )(1 ,0)(1,0)APx yx 由2RAAP得 11 (1,)2(1, )xyxy,即 1 1 23 2 xx yy 数学必修四答案详解 第 34 页 共 34 页 代入直线l的方程得2yx. 所以,点P的轨迹方程为2yx. 2、解: (1)易知,OFDOBC, 1 2 DFBC, 所以 2 3 BOBF. 22 11 ()() 33 23 AOBOBABFabaaab (2)因为 1 () 2 AEab 所以 2 3 AOAE,因此, ,A O E三点共线,而且2 AO OE 同理可知:2,2 BOCO OFOD ,所以2 AOBOCO OEOFOD 3、解: (1)( 2,7
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