初中数学(中考)常见解题模型及思路.pdf
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1、上下: 2.04 左右: 2.17 1 初中数学压轴题常见解题模型及套路(自有定理) A代数篇: 1循环小数化分数:设元扩大相减(无限变有限)相消法。 例.把 0.108108108化为分数。 设 S=0.108108108(1)两边同乘 1000 得: 1000S=108.108108(2) (2)-(1)得: 999S=108 从而: S= 108 999 余例仿此 2对称式计算技巧: “平方差公式完全平方公式”整体思想之结合:x+y;x-y;xy; 22 xy中,知二求二。 222222 ()2()2xyxyx yxyxyx y 2222 ()2()4xyxyx yxyx y 加减配合,
2、灵活变型。 3特殊公式 2 2 11 2xx xx 2 ()的变型几应用。 4立方差公式: 3322 ababaabbm()() 5等差数列求和的三种方法:首尾相加法;梯形大法;倒序相加法。 例.求: 1+2+3+ +2017 的和。三种方法举例:略 6等比数列求和法:方法+公式:设元乘等比相减求解。 例.求 1+2+4+8+16+32+ 2 n 令 S=1+2+4+8+16+32+ +2 n (1) 两边同乘 2 得: 2S=2+4+8+32+64+ +2 n + 1 2 n (2) (2)-(1)得: 2S-S= 1 2 n - 1 从而求得 S。 7 11nm mn mn 的灵活应用:如
3、: 1111 62323 等。 8用二次函数的待定系数法求数列(图列)的通项公式f(n) 。 9韦达定理求关于两根的代数式值的套路: 上下: 2.04 左右: 2.17 2 对称式:变和积。 22 22 1111 xy xyxy 22 ;xy +x y等(x、y 为一元二次方程方程的两 根) 非对称式:根的定义降次变和积(一代二韦)。 10. 三大非负数:三大永正数; 11常用最值式: 2 xy()正数等(非负数 +正数) 。 12换元大法。 13自圆其说加减法与两肋插刀法。代数式或函数变型(如配方)只能加一个数,同时 减去同一个数;如果是方程则只需要两边同时加上或者减去同一个数即可。 14拆
4、项法;配方法。原理同上。 15十字相乘法。 16统计概率:两查(抽样;普查);三事(必然;不可能;随机);四图(折线; 条形;扇形;直方) ;三数;三差;两频(频数、频率)一率(概率)等。 17一元二次方程应用题:每每问题套路;利率问题套路;握手、送花问题套路。 18. |a|=|b|,则 a=b 在动点问题中的巧妙应用(避免烦琐的因为点的相对位置变化 起的符号变化问题(平面直角坐标系中动态问题之“坐距互变”时巧施绝对值 的代数解法)。 19.四个角的正切值:22.5 度的正切值为:根号 2-1 67.5 度的正切值为根号2+1 75 度的正切值为2+根号 3 15 度的正切值为2-根号 3
5、B几何篇: 1两套:等线套;等角套。 等角套 (如图所示) :条件: AOB COD 结论: AOC BOD 说明: O A B C D O A C B D 上下: 2.04 左右: 2.17 3 可以视做由旋转产生的“共点等角” 等线套 (如图所示):条件: AB=CD 结论:AC=BD 说明:可以看做由平移产生。 ABC D ABC D 2两条平行线夹一角。一角=两旁角的和。 条件: ABCD 结论: P AEP PFC A B CD E P F 3平行线夹等(同)底三角形:面积相等。同底三角形面积相等,则过顶点的直线与 底所在直线平行。 C m A n D B 若:mn 则 ABCABD
6、 SS VV 反之:若 ABCABD SS VV 则:mn (反比例模型中的 “垂平”模型的证明用之) 4已知三角形两边定一边的范围。“大于两边的差,小于两边的和”。 5三角形的角分线角: 两内角平分线交角:I=90 2 A 一内一外角分线交角:I= 2 A 两外平分线交角:I=90 2 A 5.三角形的角平分线: 两边的比 =分线段(第三边)的对应比。 A B C I A B C I I A B C D 上下: 2.04 左右: 2.17 4 条件: AD 为角平分线结论: A BB D A CD C 6三角形中线性质定理;三中线交点分中线为 12 33 和两部分。 条件: AD、BE、CF
7、 为中线 结论: AK=2KD= 2 3 AD BK=2KE= 2 3 BE。 CK=2KF= 2 3 CF 7大名鼎鼎的等面积法:底与高的积相等。三高造相似。三高造辅助圆。 条件: AD、BE、CF 为三角形的高 结论: ADBC=BEAC=CF AB ADB CFB 等。 B、C、E、F、四点共圆等。 8高与角分线的夹角等于另外两角差的一半。(两中线垂直的三角形叫做:中垂三角形 222 5abc其中 a、b 为中线所在的边) 条件: AD、AE 分别为三角形的角平分线和高, (ABAC) 。 结论: DAE= 2 CB 条件: BE、CF 为三角形的中线,且BECF 结论: 222 5ab
8、c 222 5A CB CA B 如图: D=A+B+C A BC D EF k A B C D F E A C B D E C AB E F A B C D 上下: 2.04 左右: 2.17 5 9三角形一分为二面积的比及其推广到蝴蝶面积。 在三角形ABC中,AD,BE,CF相交于同一点O, 那么: ABOACO SSBD DC 任意四边形中的比例关系( “蝶形定理” ) : 1243:SSSS 或者 1324 SSSS 1243 :AO OCSSSS 10等腰三角形三线合一的逆定理:两线合一亦等腰;一垂两等变等腰;一垂三等变 等直。等腰三角形存在性常用公式:底角的余弦= 底边的一半 腰
9、重要推论: 已知三角形中一个角的余弦:这个角的一边这个角的余弦=另一边 的一半,此三角形为等腰三角形(一边为腰,另一边为底)。 如图:cos 2 BC ABBABCV为等腰三角形(BC 为底) “两线一圆模型” :已知线段AB(两定点A、B) , 在平面内找一点C,使三角形ABC 为等腰三角形。 这样的点 C 的集合在以A、 B 为圆心,AB 为半径的圆和AB 的垂直平分线上 (与 A、B 共线的点除外) (等腰三角形存在性问题) 11直角三角形斜高的求法。斜高= 两直角边的乘积 斜边 直角三角形存在性之“两线一圆模型”: 已知线段 AB(两定点A、B) , 在平面内找一点C,使三角形ABC
10、为等腰三角形。 O F E D CB A S4 S3 S2 S1 O D CB A A B C A B 上下: 2.04 左右: 2.17 6 满足条件的C 的集合在: 过 A、B 做线段 AB 的垂线及以AB 为直径的圆上的除 A、B 两点的任意点都可与A、B 组成直角三角形。 (所谓的“两线一圆” ) 。 12等边三角形面积的求法。 23 4 Sa 边长为 a的等边三角形 13求面积的套路: 复杂图形:一拆用加;二放用减。 三角形:面积公式;两边与夹角正弦的 积的一半(遇钝变补) ;铅垂线法(宽高法) ; 等边三角形的面积。利用:相似比的平方 =面积比(借助面积可求的三角形的面积和 相似比
11、求解) 。让出去:化归。 (3)平行四边形面积=两邻边与其夹角的正弦的乘积;菱形的面积=边长的平方与一个 内角的正弦的乘积;梯形的面积=两对角线与其夹角的正弦的乘积的一半。 (4) 共(有一个角相等)角三角形:面积的比等于等角两边乘积的比(鸟头定理)。 两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应 角 ( 相等角或互补角) 两夹边的乘积之比 如图在ABC中,,D E 分别是,AB AC 上的点如图( 或D在BA的延长线上,E在AC上) , 则:(): () ABCADE SSABACADAE E D C B A E D C B A 宽 高 A B 上下:
12、 2.04 左右: 2.17 7 14三大蝴蝶: 一线两等边。 条件: ABC 、 ECD 为等边三角形,B、C、D 共线 则有: BCE ACD DCG ECF BCF ACG 旋转 60形成的全等三角形! ! ! CGF 也是等边三角形。 还有: ABCE DE AC 等结论成立! AKB=60 CK 平分 BKD BKC=60 =DKC K、F、C、G 四点共圆。 一个三角形两等边(费马点:见课件)。 条件:以 ABC 的两边 AB、AC 为边向外作 等边三角形ADB 和等边三角形ACE 则有: ADC ABE(SAS) CD=BE DGB=60 DGE=120 又 ADCABE SS
13、V 分别作高 AM 、AN, 则 AM=AN (面积相等,底等,则高等),AG 是 DGE 的平分线! DGA= EGA=60 一个三角形两个正方形。 条件:四边形GBAF 和正方形 ACDE 结论: FC=BE FCBE AH 是 FHE 的 角平分线( FHA= EHA=45 ) A、F、B、F 四点共圆。 A B C D E G MN A BC D E F G H A B C D E FG K 上下: 2.04 左右: 2.17 8 15平行四边形的面积关系。平行四边形的对角顶点到过对称中心的任意一条直线(一 般找平行于两轴的直线)的距离相等。 1 2 AEDABCD SS V平行四边形
14、 平行四边形的对角顶点到过对称中心的任意一条直线(一般找平行于两轴的直线) 的距离相等。 16平行四边形对角线平方的和等于四边平方的和: 222222 ACBDABBCCDDA 17矩形一边上任意一等到对角线距离的和= 长宽 对角线 18矩形内任意一点到对角顶点距离的平方和相等。 如图:矩形ABCD 内任意一点P,则有: 2222 PAPCPBPD 19矩形精典对折图。 如图:矩形ABCD 沿对角线, BD 对折, C 点到了 E 点,则一对全等(小直角三角形)一对相似,两 个等腰。例AE:BD=3:5 则 AB:BC=4:8=1:2 这是因为相似比为3:5,所以 EF:FB=3:5, 因此
15、ED=4 (勾股)而AD=DF+FA=5+3=8 ! ! 20正方形垂等图。垂直相等横平竖直;改斜归正的辅助线方法。 A BC D O E A B C D P A B C D F A B C D E F G H M N 上下: 2.04 左右: 2.17 9 21正方形三兄弟成面积图= 中正方形之面积。 三个正方形,如图摆放:AN 正好过 E 点。 技巧: ACECFN(对角线平行:此题题眼) AGN 的面积 =AGE 的面积 +EGN 的面积 AGE 的面积 =ECG 的面积 EGN 的面积 =EGF 的面积结论成立! 22两正方形垂直相等图。 如图, ABCD 、CGFE 是正方形: DC
16、G CBCE ; BEDG。 BE=GD A、B、M 、 D 四点共圆(双歪八) ADB AMB= AMD=45 ADK AMD (斜射影) 2 ADAKAM 若 2 DMMEMA则:BD=BG BDG 为等腰三角形。( GDC= DAM= DBM= MBG ) 此时: MA=MB 若 MA=ME ,也能推出中的结论。 23,正方形内含半角(其中产生的两个双八字相似和 等腰直角三角形)邻边相等的圆内接四边形 内含半角图。 条件:正方形ABCD 中, EBF=45 结论: EF=AE+FC AG 2+KC2=HK2 DEF 的周长 =正方形周长的一半。 DCA= EBF=45 B、C、F、H 四
17、点共圆(双八字) ! ! BHF=90 BHF 为等腰直角三角形! ! ! 同上: DAC= EBF=45 B、K、E、A 四点共圆(双八字) , BKE=90 BKE 为等腰直角三角形! A B C D E F G H K A B C D EF G M M 条件:三个正方形, A B C D E F G M N H AN恰好过 E点 结论:三角形 AGN的面积 =正方形 ECGF 的面积 上下: 2.04 左右: 2.17 10 24正方形内含半角模型的推广及等腰直角三角形内含半角图。 正方形内含45模型推广到圆内接四边形(对角互补的四边形),有一组邻边相 等,且相等的邻边的夹角内含半角。
18、条件:四边形ABCD 中, BA=BC ABC D90 EBF= 1 2 ABC 结论: EF=AE+CF (其余根据已推导) 等腰直角三角形内含45 条件:等腰直角三角形ABC, FBE=45 222 E FA FC E 其他特殊的等腰三角形“顶角”内含半角图。(根据上述模型类比解决:用三角比找 到相关边的关系) 。 25正方形互补型(互补型): 对称中心有直角:OE=OF 直角顶点在对角线上:PB=PQ (图图两种情况都成立) 26.任意四边形的面积=两条对角线与夹角正弦乘积的一半! ! ! ! ! C D B C A E F F A B C E F 上下: 2.04 左右: 2.17 1
19、1 小结 26正方形 123 成 135 度。 点 E 是正方形ABCD 内的一点 , 连接 AE,BE,CE,将 ABE 绕点 B 顺时针旋转90到 CBE 的位置 若 AE 1,BE2, CE3,则 BE C_135_度 27相似模型: 正 A、歪 A;正八、歪八;正射影、歪射影;正K、歪 K(一线三等角) 。 射影图中:两直角边平方的比等于其在斜边上的射影的比!(细讲:自画图) 双八字(共圆图之一)。 条件: BAC BDC(同弦对等角) 结论: B、C、D、A 四点共圆 三角形三角形 三角形三角形(相交弦定理的逆定理:同样可得前面的结论) 其中 AB、BC、CD、DA 四条弦所对的四对
20、圆周角相等。 A B C D 上下: 2.04 左右: 2.17 12 线束定理:两平行线被过一点的 三线所截得的四条“横线” 对应成比例 条件:直线mn 结论: ABBC DEEF 等比例 平行于一边的线段截得的图形(三角形、四边形)面积之间的关系。 条件: DEBC 结论:图形中“对应”线段的比,相关面积 的比,知一求它!烂熟于心! 三角形内叉叉型:知两比求其它比。 BE:EC、CD:DA、AF:FE 、 BF:FD 知二求二(过已知比的节点做平行线) 四线六点型:过其中的三条线组成的被标记的一个三角形的一个顶点,做不过这个 顶点的直线的平行线(有两条),问题迎刃而解。 技巧:过A、B、C
21、 中一点,做不过这点的直线 的平行线,问题就能得到解决!如过C 点可做 AB 或者 DE 的平行线!善于初纷繁复杂的图形 中找到这样的“模型”是关键。 O ABC D EF m n A BC D E O A BC D E F A B C D E F 上下: 2.04 左右: 2.17 13 歪 A:下面的四边形为圆内接四边形(歪八):歪 A 生歪八,歪八补型得歪A。 条件: 结论:下面的四边形为圆内接四边形(歪八): 歪 A 生歪八,歪八补型得歪A(对角互补的四边形 补型延长BD、CE 相交于点 A可得歪 A) 。 28解直角三角形;解斜三角形(双勾股)。 直角三角形:内高型;外高型;双高型(
22、梯形);单高型(直角梯形) 。 口诀:角优先、多求边;造模型;设表列。 任意三角形:知三求三(三边;两角一边;两边及夹角)尽量不破坏已知的边 和角(内高;外高) 。 29解三角形之:角优先,套模型:内高型;外高型;双高型;单高型(直角梯形) (附加模型:坡度;坡角;斜率;仰角;府角;方向角图略) A BC D E 内高外高 单高双高 上下: 2.04 左右: 2.17 14 30手拉手模型: 上下: 2.04 左右: 2.17 15 31三平三交造平四(两对对角顶点横、纵坐标的和分别相等)。万能公式 条件:平行四边形ABCD 公式: ACBD ACBD xxxx yyyy 用中点或平移动两种思
23、路都可推理 32共圆图: 共边两等角(直角)见 27“双八字”; “相交弦定理”的逆定理。 对角互补(对角有两直角);外角等于内对角。图略。等腰梯形四顶点永远共圆。 33垂径图;弦切图;双切图;切割图;双割图;相交弦定理(对顶三角形相似);平 行弦;圆内共点等弦所成角被过这点的直径(半径)平分。 A AA (x ,y ) BB B(x ,y ) CC C (x ,y ) DDD (x ,y ) 垂径图 双切图 平行弦图 弦切图 +切割图双割图共点等弦图 相交弦 +对顶三角形相似 A B C D E F G 上下: 2.04 左右: 2.17 16 AC 平分BAD AB=CB BCAD 34等
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