初中数学《解直角三角形(三角比)》超级名师原创导学案(各版本通用-学生、家长、教师必备).pdf
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1、正奇数学教育工种室正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。正奇 以正立,以奇胜。 1 第十章解直角三角形 通关口诀: 一个坡度三个比;见到直角是前提。 三个特角九个值;三边之比要牢记。 测距触礁躲台风;设法构造三角形。 辅助理当造直角;不破已知边与角。 做题要快记模板;比较大小记增减。 正奇数学学堂 第一讲:锐角三角函数 基础知识疏理 知识点一:直角三角形中的角与相似。直角三角 形 一个锐角相等(确定)相似(三边的比 确定)任意两边的比也随之确定。且上述结论 与三角形的大小无关。 知识点二:“一切两弦” 的概念。 在 Rt ABC 中, C90 ,A,B,C 的对边分别为a,
2、b,C sin A= A的对边 斜边 = a c ;sin A 叫做 A 的正弦。 cos A A的邻边 斜边 b c; cos A 叫做 A 的余弦。 tan A A的对边 邻边 a b.; tan A 叫做 A 的正切。 正奇点睛: 1sin A,cos A,tan A 是三个完整的符号, 分别表示 A 的正弦,余弦,正切。 2如果其中的角是用三个字母表示,则角的 符号“”不可以省略。 3直角三角形中“一角定三比=三边之比 一定的相似三角形集合” :一个锐角确定 三个比值确定。 (这三个比值与三角形的大小无关, 且没有单位) 。 4 三个定义中的每个等式都要会“变式使用” 。 对公式的“变
3、式使用”是学习数学必备的基本功。 知识点三:坡角与坡度。坡角是坡面与水平面所 成的角;坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度 (或坡比 ),常用 i 表示,也就是坡角的正切值,坡角 越大,坡度越大,坡面越陡 正奇点睛: 坡度的实际意义斜坡水平方向每 延长一个单位铅直方向升高的距离。 知识点四:三角函数的概念。 1定义 : (1).文字语言: 锐角 A的正弦,余弦,正切都 是 A的函数。 (用函数的观点看待和分析角与比值 的对应关系) 。 (2) 符号语言:三个函数: y = sin, y = cos ,y = tan (0 90)叫 做锐角的三角函数。通常我们把sin ,cos , tan 称为
4、锐角 的三角函数。(适宜叙述的变化) 。 2. 锐角三角函数的取值范围: 0sin 1; 0cos 1;0tan 3锐角三角函数的增减性:“ 正增余减”。正 弦,正切是增函数,余弦是减函数。 4锐角三角函数之间的关系: ( 1)互余关系(两角互余,两弦相等): sinA=cos(90 A),cosA=sin(90A) ; 正奇数学教育工种室正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。正奇 以正立,以奇胜。 2 或:若 A+ B90则 sinA=cosB cosA=sinB (一个重要用途:锐角的正弦,余弦比较大小。) (2)平方关系:1cossin 22 AA(两弦知 一求一)
5、(3)倒数关系: tanAtan(90 A)=1 或:若 A+ B90则 tanAtanB=1 (4)商(弦切)关系:tanA= A A cos sin (一角三 值,知二求一) 正奇点睛: 特别拓展若A+ B180 度 则 sinA =sinB(后面求任意三角形面积你回体会到 它的作用)。 知识点五:三角函数值的求法。 1除了一些特殊角度的三角函数值外,目前我 们只能借助 “计算器” 求一个角的三个三角函数值。 2从理论上讲,题目中如果告诉了一个锐角 的度数,那么就默认这个角所对应的三个三角函数 值都是已知的。事实上,除了一些特殊角外,题目 中在给出已知角的同时都会给出相关的可能用到 的三角
6、函数的值。 1锐角三角函数的值可能是一个正的有理数, 也可能是一个正的无理数。 知识点六:特殊角的三角函数值。 1. 三角九值 ( 会推导 数形结合记忆): 三角函数 30 45 60 sin 2 1 2 2 2 3 cos 2 3 2 2 2 1 tan 3 3 1 3 2. 发现 - 分享 : 当角度小于45时 ,同一个角 的正弦小于余弦; 当角度大于45时 , 条一个角的 正弦大于余弦。 (结合图形,表格理解记忆)。 3掌握结合增减性记忆上表信息的技巧。 核心考点示例 考点一:根据相关边长求三角函数值。 例 1如图:已知ACB=90 ,DEAB ,垂足 为 E,AB=10,BC=6,求
7、BDE的三个三角函数值。 正奇点睛: 通过此题进一步体会相似与三角函数 的关系。“知识团结起来,难题踩在角下” 考点二:坡度问题。 例 2.如图,山坡 AB 的坡度为512,一辆汽车 从山脚下A 处出发, 把货物运送到距山脚500 m 高 的 B 处,求汽车从A 到 B 所行驶的路程 考点三: 知道直角三角形中一个锐角的一个三角 函数值,求两锐角的其它五个三角函数值。 例 3在 ABC中,C=90 sinA= 4 5 , 求 cosB, sinB,tanB,cosA,tanA的值。 考点四:知道三角函数的值确定角的度数。 例 3若 +=90,且 sin +cos=3 求角 的度数。 正奇点睛:
8、 解题过程最特别注意标明所求角为锐 角这一条件,否则会导致结论的错误。 考点五:平面直角坐标系中的三角函数。 例 4如图,在直角坐标系中,P 是第一象限 内的点,其坐标是(3,m ) ,且 OP与 x 轴正半轴的 夹角 的正切值是 4 3 ,则 sin 的值为() 正奇数学教育工种室正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。正奇 以正立,以奇胜。 3 A 4 5 B 5 4 C 3 5 D 5 3 考点六:特殊三角函数值的有关计算。 例 4 式子2cos30 - tan45 - 2 (1tan60 ) o 的值是() A2 3-2 B0 C 2 3 D2 考点七:有关实数的运算
9、。 例 5计算 00 ( 1)|23 | 2sin60 考点八:同角三角函数关系的应用。 例 7 已知 是锐角,且 tan是方程 x 2-2x-3 =0 的一个根求证:sin2-4sincos+3cos2=0 考点九:特殊角的三角函数值在其它函数中的 应用。 例8如图:一次函数 3 3 3yxmy x 与反比例函数的图象在第 一象限的交点为A(3,n), (1).求 m 与 n 的值。 (2).设一次函数的图象与x 轴相交于点B, 连接 OA,求的度数。 1已知 RtABC 的面积为24cm2,直角边 AB为 6cm,A是锐角,则sinA; 2直角三角形的斜边与一直角边的比是5: 1,且较大的
10、锐角为,则 sin = ; 3如果坡角的余弦值为 10 103 ,那么坡度为 ( ) A.110B.310C.1 3 D.31 4等腰三角形的三边的长分别为1、1、3, 那么它的底角为() A.15 B.30C.45D.60 5直角三角形纸片的两直角边长分别为6, 8, 现将ABC如图那样折叠,使点A与点B重合, 折痕为DE,则tanCBE的值是() A 24 7 B 7 3 C 7 24 D 1 3 6计算: (1)tan60cos30 -3tan30tan45 ; (2)sin30+cos60 -tan45 -tan30 tan60 ; (3) 00 0 tan30sin 60 1cos6
11、0 ; (4)cos60-3tan30+tan60 +2sin 245 . 7如图,在 ABC 中, ACB90, BC 3,AC4,CDAB,垂足为D,求 sinACD 和 tanBCD 8 (1)已知 sin 与 cos是关于x 的方程: x 2+px+q=0 的两个根,求证: 1+2q-p 2=0 (2)化简 00 1 2sin73 cos17 正奇数学教育工种室正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。正奇 以正立,以奇胜。 4 第二讲:解直角三角形 基础知识疏理 知识点一: 直角三角形边角关系。在 Rt ABC 中, C90 ,A,B,C 的对边分别为a,b,C 1三
12、边之间的关系:a 2 b2c2; (平方式与开 方式)。 2锐角之间的关系:A B90 ; 3 边角之间的关系: sin A a c , cos Ab c, tan A a b, sin B b c ,cos B a c ,tan B b a. 430 度角所对的直角边是斜边的一半。 5斜边上的中线等于斜边的一半。 6射影定理;斜高的求法。 7面积公式: SABC= 11 22 c abch 知识点二:解直角三角形。 1定义: 由直角三角形中的已知元素,求出 所有未知元素的过程,叫做解直角三角形。 2类型及解法: (1)已知两边求其它元素:用勾股定理求第 三边;用锐角三角函数反求一个锐角;用互
13、余关系 求另一锐角。 (2)已知一角的度数和一条边的长度求其它 元素:用互余关系求另一锐角;用三角函数求一条 未知边;用勾股定理或三角函数求另一未知边。 正奇点睛: 用“取特值法” 求直角三角形的边长。 1方法:已知两边的比值(或者一个锐角的 三角函数值) 和其中任一边的长度,求其它的边长。 我们只要取 比值就是长度(与题目中三角形相似) 的“ 特殊直角三角形” ,用勾股定理算出第三边, 这三边的比无疑就是我们问题中三角形三边的比, 此时用公式: 未知边长 =已知边长未知边对应的份数 对应份数 即可迅速求出另外两边的长度。 2口诀: 一定三边比;二求每份值;三求未 知边; 快得离谱,秒不可言!
14、 3如果再能熟记一些常考直角三角形三边的 比值,那就更是“一看便知,如虎添翼”: (3 ,4, 5 ) ;(5 ,12, 13 ) ; (7 ,24, 25 ) ;(8 ,15, 17 ) ; (9 ,40, 41 ) ;(1,3,10) ; (1,1,2 ) ; (1,2,5 ) ; (1,3,2) 。 看题即知比,知比速求边,本章学霸非你莫属! 4如果给出的锐角三角函数值是一个近似数, 则此方法无效。 知识点三:作辅助线构造直角三角形的基本方 法。 1原则: 原则是 尽量不破坏已知的边和角构 造含有 与题目结论相关的边与角的直角三角形。 2基本模型: ( 1)利用已知角: ( 2)利用勾股
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