初中数学解题方法及提分突破训练:换元法专题【名校名师计议】.pdf
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1、1 解题方法及提分突破训练:换元法专题 一真题链接 1.(2011?恩施州) 解方程 (x-1)2-5( x-1)+4=0 时,我们可以将x-1 看成一个整体, 设 x-1=y, 则原方程可化为y2-5y+4=0,解得 y1=1,y2=4当 y=1 时,即 x-1=1,解得 x=2;当 y=4 时, 即 x-1=4,解得 x=5,所以原方程的解为:x1=2, x2=5则利用这种方法求得方程(2x+5) 2-4(2x+5)+3=0 的解为() Ax1=1,x2=3 Bx1=-2,x2=3Cx1=-3,x2=-1 Dx1=-1, x2=-2 2 ( 2005?温州)用换元法解方程(x2+x)2+(
2、x2+x)=6 时,如果设x2+x=y,那么原方程可 变形为() Ay2+y-6=0 By2-y-6=0 Cy2-y+6=0 Dy2+y+6=0 3.(2005?兰州)已知实数x 满足的值是() A1 或-2 B-1 或 2 C1 D-2 4已知( x2+y2)2-(x2+y2)-12=0,则( x2+y2)的值是() 二名词释义 概念:换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变 数称为元, 所谓换元法, 就是在一个比较复杂的数学式子中,用新的变元去代替原式的一个 部分或改造原来的式子,使它简化,使问题易于解决。 经验: 换元法,可以运用于因式分解、解方程或方程
3、组等方面。换元法是数学中重要的解题 方法,对于一些较繁较难的数学问题,若能根据问题的特点,进行巧妙的换元,则可以收到 事半功倍的效果,现举例说明. 详解: 换元法主要有双换元、整体换元、均值换元,倒数换元几种形式。下面结合例题一一 讲解。 三典题事例 1.整体换元 例 1 分解因式: .16)4a3a)(2a3a( 22 解:设 m2a3a 2 ,则 原式 2 )4a3a)(6a3a()2m)(8m(16m6m16)6m(m 222 ).1a)(4a)(6a3a( 2 评注: 此题还可以设ma3a 2 ,或m4a3a 2 ,或m1a3a 2 。运用换元法分解 因式 , 是将原多项式中的某一部分
4、巧用一个字母进行代换, 从而使原多项式的结构简化, 进而 便于分解因式. 2双换元 例 2 分解因式: ).ba)(ac(4) cb( 2 解:设 qba,pac ,两式相加,则 ).qp(cb 原式 .)a2cb()ba()ac()qp(pq4)qp( 2222 例 3 解方程组 . 1 106 , 3 106 yxyx yxyx 解:设 m yx 6 , n yx 10 . 原方程组可化为 .1 ,3 nm nm 解得 .2 , 1 n m . 2 10 , 1 6 yx yx 即 .20 ,6 yx yx 解得 .7 ,13 y x 原方程组的解为 .7 ,13 y x 而所谓双换元法,
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