合肥工业大学2007年复变函数与积分变换期末考试试题A.pdf
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1、合肥工业大学2007 年复变函数与积分变换期末考试试题A 合肥工业大学2007 年复变函数与积分变换试卷 一、填空题(本小题共5 小题,每小题 3 分,满分 15 分) (1)已知函数是解析函数,则 , . (2)设的 Taylor 级数为,则该级数的 收敛半径为 . (3)已知,则 . (4)计算 . (5) 设则 . 二、选择题(本小题共5 小题,每小题 3 分,满分 15 分) (1)下列说法正确的是() (A)若在区域内可导,则在区域内解析。 (B)若在点解析,则在区域内可导。 (C)若在点连续,则在点可导。 (D)若在点可导,则在点解析。 (2)将平面上的曲线映射成平面上的图形为()
2、 (A)。(B)。(C)。(D)。 (3)设为正向圆周,则积分() (A)(B)(C )(D) (4)级数() (A)敛散性不定。(B)发散。(C)条件收敛。(D)绝对 收敛。 (5)是函数的() (A)非孤立奇点。(B)可去奇点。(C)一级极点。(D )本 性奇点。 三、( 12 分)验证在右半平面内是调和函数,并求以此为虚部 的解析函数,且使. 四、计算下列各题(本小题共6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) (1); (2),其中,取正向; (3),其中,取正向; (4),其中,取正向; (5),其中,取正向; (6)。 五、( 12 分)将函数分别在下列圆环域内展开成洛朗级数: (
3、1);(2);(3) 六、( 12 分)用积分变换解微分方程,. 七、( 4 分)设在上解析,且,证明 . 合肥工业大学2007 年复变函数与积分变换试题解答 一、(1) -3 , 1, -3;(2); (3);(4) (5). 二、( 1)A;(2)D ;(3)C;(4)B;(5)C. 三、 由方程, 又,故有 ,. 所以, 由得,所以. 四、( 1)原式 (2)因为在上及内部解析,由Cauchy-Coursat基本定理,原式 =0. (3)原式 (4)原式 (5)原式 (6)令,则 原式 记,则 Res, Res 原积分. 五、. (1)在内, (2)在内, (3)在内, 六、记,对方程两边取Laplace 变换, 解得 七、设曲线,取正向。由导数公式, 因为所以
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