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1、1 第六十二课时几何概型 课前预习案 考纲要求 1. 了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率; 2. 了解几何概型的意义. 基础知识梳理 1. 定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度( 面积或体积 ) 成比例,则称这样的概率 模型为几何概率模型,简称为几何概型 2. 特点: 无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个; 等可能性:每个结果的发生具有等可能性 3. 求解公式:P(A) 构成事件A的区域长度面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 . 思考:已知区间 5,5M. 事件A:在M内任取一个整数x,使得 2 1x;事件B:在M内任取一个实数x,使得 2 1
2、x. 请问, 事件A与事件B有何区别? 预习自测 1. 在区间20,80内随机取一实数a,则实数a属于区间50,75的概率是 ( ) A. 1 4 B. 3 4 C. 5 12 D. 7 12 2. 一个路口的红绿灯,红灯的时间为30 秒,黄灯的时间为5 秒,绿灯的时间为40 秒,当某人到达路口时 看见的是红灯的概率是( ) A. 1 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 3. 在 1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子,从中随机取出10 mL,则含有麦锈病种子的概率是 ( ) A1 B0.1 C0.01 D0.001 4. 如图,矩形ABCD中,点E为边CD的中点若在矩形AB
3、CD内部随机取一 个点Q,则点Q取自 ABE内部的概率等于 ( ) A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 5.如图,在半径为R的圆内随机撒一粒黄豆,它落在圆的内接正三角形( 阴影部分 ) 内的概率是 ( ) A. 3 4 B. 3 3 4 C. 3 4 D. 3 3 4 课堂探究案 典型例题 考点 1:与长度、角度等相关的几何概型 【典例1】(1) 已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随 机爬行,则其恰在离三个顶点的距离都大于1 的地方的概率为 _ (2) 如图,四边形 ABCD为矩形,3,1ABBC ,在 DAB内任 作射线AP,则射线AP与线段BC有公共点
4、的概率为_ 【变式 1】 ( 1)有一根长为1 米的细绳子,随机从中间将细绳剪断,则使两截的长度都大于 1 8 米的概率为 _ (2)如图,在ABC中,60B,45C,高3AD,在BAC内作射线AM交BC于点M, 则 1BM 的概率是 _ 考点 2:与面积、体积相关的几何概型 【典例 2】 (1)花园小区内有一块三边长分别是 5m、5m、6m的三角形绿化地,有一只小花猫在其内部 玩耍,若不考虑猫的大小,则在任意指定的某时刻,小花猫与三角形三个顶点的距离均超过 2m的概率是 _ (2) 在 棱 长 为2的 正 方 体 1111 ABCDA B C D中 , 点O为 底 面A BC D的 中 心
5、, 在 正 方 体 1111 A B C DA B C D内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1 的概率为 _ 【变式 2】 (1)在长为16cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为一边作正方形,则此正方形的面 积介于 2 25cm与 2 81cm之间的概率为_ (2)一只小蜜蜂在一个棱长为3 的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6 个表面 的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为_ 考点 3:几何概型的综合应用 【典例 3】 (1)在区间 1,1上随机取一个数k,使直线(2)yk x与圆 22 1xy相交的概率 为 ( ) A. 1 2 B. 1
6、3 C. 3 3 D. 3 2 (2) 如图所示, 边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子, 它落在阴影区域内的概率为 2 3 ,则阴影区域的面积为_ 【变式 3】 ( 1)如图的矩形长为5,宽为 2,在矩形内随机地撒300 颗黄豆,数得落在阴影部分的黄豆数为 138 颗,由此我们可以估计出阴影部分的面积约为( ) A. 16 5 B. 21 5 C. 23 5 D. 19 5 ( 2)在不等式组 240, 30, 0, 0 xy xy x y 所表示的平面区域内任取一点P (x,y ) , 点 P落在圆 22 1xy区域内的概率是_ 当堂检测 1. 将一根
7、长10 cm 的铁丝用剪刀剪成两段,然后再将每一段剪成等长的两段,并用这四段铁丝围成一个 矩形,则围成的矩形面积大于6 cm 2 的概率等于 ( ) A. 1 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 2. (20xx 年高考福建卷)利用计算机产生10之间的均匀随机数a, 则事件“013a”发生的概率为 _ . 3 ( 20xx年高考湖北卷)在区间 2,4上随机地取一个数x,若x满足|xm的概率为 5 6 ,则 m_. 课后拓展案 A 组全员必做题 1设不等式组 02 02 x y 表示的平面区域为 D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大 于 2 的概率是 ( ) A. 4
8、B. 2 2 C. 6 D. 4 4 2.( 山 20xx 东省潍坊市期末) 已知集合 2 |230Axxx, 1 |1 3 x Bx yg x ,在区间3 ,3上任取一实数x,则“xAB”的概率为 ( ) A. 4 1 B. 8 1 C. 3 1 D. 12 1 3. 在长为12cm的线段AB上任取一点C, 现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面 积小于 2 32cm的概率为( ) A. 1 6 B. 1 3 C. 2 3 D. 4 5 4. 在区间 , 2 2 上随机取一个数 x,则cosx的值介于 0 至 1 2 之间的概率为_ 5. 小波通过做游戏的方式来确定周末活动
9、,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大于 1 2 , 则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于 1 4 ,则去打篮球;否则, 在家看书则小波周末不在家看书的概率为_ B组提高选做题 1. 分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆,重叠部分如图中阴影区域所示,若向该正方形内随机投 一点,则该点落在阴影区域的概率为( ) A. 4 2 B. 2 2 C. 4 4 D. 2 4 2. (20xx 潮州市期末)设事件A表示“关于x的方程 22 20xaxb有实数根” (1)若a , 1, 2 ,3b,求事件A发生的概率()P A; (2)若a,1, 3b,求事件A发生的概率( )P A 参考答案 预习自测 1.C 2.B 3.C 4.C 5.D 典型例题 【典例 1】 (1) 4 5 ; (2) 1 3 . 【变式 1】 (1) 3 4 ; (2) 2 5 . 【典例 2】 (1) 1 6 ; (2) 1 12 . 【变式 2】 (1) 1 4 ; (2) 1 27 . 【典例 3】 (1)C; (2) 8 3 【变式 3】 (1)C; (2) 14 . 当堂检测 1.A 2. 1 3 3.3. A 组全员必做题 1.D 2.C 3.C 4. 1 3 5. 13 16 B组提高选做题 1.B 2.(1) 2 3 ; (2) 1 2 .
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