新版高考数学一轮复习导学案:函数专题抽象函数【A】(含答案).pdf
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1、1 1 20xx 高考数学总复习 -函数专题 -抽象函数 (教案)A 一、例 题选讲 1、已知 f定义域是( 1,2) ,则函数f的定义域是; 2、若f(x) 是奇函数,且(0, +)上增函数,又f(2)=0,则0 时 , f(x)1,且对任意的a、b,有 f(a+b)=f(a) f(b). (1)求证: f(0)=1; (2)求证:对任意x,f(x) 0; (3)证明: f(x)是 R 上的增函数。 6、已知 f(x)是 R上的不恒等于0 的函数,且对任意a、b,有 f(a b) = bf(a)+af(b). (1)求 f(0)、f(1)的值; (2)判断 f(x)的奇偶性,并证明。 7、定
2、义在上的函数, 当 x1 时, f(x)0, 且对任意的a、b,都有 f(a b)=f(a)f(b). (1) f(1)=0; (2)证明: f(x)是上的增函数; (3)证明:, f( )=-f(x) (n). 8、函数 f(x)对任意 a、b,有 f(a-b) = f(a)-f(b)+1, 且 x0,时, f(x) 1。 (1)证明: f(x)是 R 上的增函数; (2)若 f(4)=5,解关于 m 的不等式f(30,时, f(x) 1。 (1) 证明: f(x)是 R 上的增函数; (2)若 f(3)=4,解关于 a 的不等式f(0,时, f(x)0. (1)判断 f(x) 在(-1,1
3、)上的奇偶性,并证明; (2)判断 f(x) 在(0,1)上的单调性,并证明; (3)若, 试求的值。 二、课时作业 1. 已知函数y = f (x)( xR,x 0) 对任意的非零实数 1 x , 2 x ,恒有 f( 1 x 2 x )=f( 1 x )+f( 2 x ), 试判断 f( x) 的奇偶性。 解:令 1 x = -1 , 2 x =x,得 f (- x)= f (-1)+ f ( x) 为了求 f (-1) 的值, 令 1 x =1,2x =-1 , 则 f(-1)= f(1)+ f(-1), 即 f(1)=0, 再 令1 x = 2 x =-1得 f(1)= f(-1)+
4、f(-1)=2 f(-1) f(-1)=0代入式得 f(- x)=f( x), 可得 f( x) 是一 个偶函数。 2 已知定义在 -2,2上的偶函数, f (x)在区间 0,2上单调递减, 若 f (1-m)0. (1)求(1)f; (2)求和(1)(2)(3).( )ffff n * ()nN; (3)判断函数( )f x的单调性 ,并证明 . (1)解:令 1 2 mn,则 1111 ()2( ) 2222 ff 1 (1) 2 f (2) 1 (1), 2 f 111 (1)(1)( )( )( )1 222 f nff nf nf n (1)( )1f nf n 数列( )f n是以
5、 1 2 为首项 ,1 为公差的等差数列 , 故 (1)(2)(3).( )ffff n= (1) 22 nn n = 2 2 n (3)任取 1212 ,x xRxx且,则 212111211121 11 ()( )()( )()( )( )() 22 f xf xfxxxf xf xxf xf xf xx = 21 1 ()0 2 f xx12()()f xf x 函数( )f x是 R上的单调增函数 . 14.函数( )fx的定义域为 R,并满足以下条件 :对任意 xR, 有( )f x0; 对任意, x yR, 有()( ) y fxyf x; 1 ( )1 3 f. (1) 求(0)
6、f的值; (2)求证: ( )f x在 R上是单调减函数 ; (3)若0abc且 2 bac,求证:( )( )2 ( )f af cf b. (1)解: 对任意 xR, 有( )f x0, 令0, 2xy 得, 2 (0)(0)(0)1fff (2) 任取任取 1212 ,xxRxx且,则令 1122 11 , 33 xp xp,故 12 pp 函数( )f x的定义域为 R,并满足以下条件 :对任意 xR, 有( )f x0; 对任意,x yR, 有()( ) y f xyf x; 1 ( )1 3 f 12 1212 1111 ()()()()( )( ) 3333 pp f xf xf
7、pfpff0 12 ()()f xf x 函数( )f x是 R上的单调减函数 . (3) 由(1) (2)知,( )(0)1f bf,( )1f b ( )()( ),( )( ) ac bb ac f af bf bf cbf b bb ( )( )( )( )2 ( ) ac ac b bb f af cf bf bf b, 而 2 222a ca cbb 2 2( )2( )2 ( ) acb bb f bf bf b ( )( )2 ( )f af cf b 15.已知函数( )f x的定义域为 R,对任意实数,m n都有()()( )f mnf mf n, 且当0x时,0( )1f
8、x. (1)证明:(0)1,0fx且时,f(x)1; (2)证明: ( )f x在 R上单调递减 ; (3)设 A= 22 (, )()()(1)x yfxfyf,B=( , )(2)1,x yf axyaR ,若 AB=,试确定a的取值范围 . 证明(1):令0,1mn,则(01)(0)(1)fff 当0x时,0( )1fx,故(1)0f,(0)1f, 当0x时,0( )1f x 当0x时,0x, 则 (0)1 ()()( )( )1 ()() f fxxfxf xf x fxfx (2) 证明:任取 1212 ,xxRxx且,则 2121112111 ()()()()()()()f xf
9、xfxxxf xf xxf xf x 211 ()1()f xxf x 21 0xx, 00 ( )F x是 R 上的增函数 ; (2)设 00 (,)M xy为函数 y =( )F x的图象上任一点 ,则点 00 (,)M xy关于点 (,0) 2 a 的对称点为 N(,m n),则 00 ,0 222 xmyna ,故00,maxny 把 0, max代入 F( )( )()xf xf ax得, 0000 ()()()()f axf aaxf axf x=- 0 y 函数 y =( )F x的图象关于点 (,0) 2 a 成中心对称图形 . 17.已知函数( )f x是定义域为 R的奇函数
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