新版高考数学一轮复习:《函数与方程》教学案(含解析).pdf
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1、1 第九节函数与方程 知识能否忆起 1函数的零点 (1)定义: 对于函数 yf(x)(xD),把使 f(x)0 成立的实数x 叫做函数yf(x)(xD)的零点 (2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x 轴交点间的关系: 方程 f(x)0 有实数根 ? 函数 yf(x)的图象与x 轴有交点 ? 函数 yf(x)有零点 (3)函数零点的判定(零点存在性定理): 如果函数yf(x)在区间 a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a) f(b)0)的图象与零点的关系 0 0 0 二次函数yax2bx c (a0)的图象 与 x 轴的交点(x1,0), (x2,0) (x1,0)无交点 零点
2、个数两个一个零个 3.二分法 对于在区间 a,b上连续不断且f(a) f(b)0.函数 f(x)在 R 上单调递增 f(1) e 1(1)4 5 e10,f(1)f(2)0, 则函数 yf(f(x)1 的零点个 数是 () A4 B3 C2 D1 自主解答 (1)在同一平面直角坐标系内作出y1x1 2与 y2 1 2 x 的图象如图所示,易知,两函数图象只有一个交点,因此函 数 f(x)x1 2 1 2 x 只有 1 个零点 (2)由 f(f(x)10 可得 f(f(x) 1, 又由 f(2)f 1 2 1. 可得 f(x) 2 或 f(x) 1 2. 若 f(x) 2,则 x 3 或 x1
3、4; 若 f(x)1 2,则 x 1 2或 x 2, 综上可得函数yf(f(x)1 有 4 个零点 答案 (1)B(2)A 由题悟法 判断函数零点个数的常用方法 (1)解方程法:令f(x)0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点 (2)零点存在性定理法:利用定理不仅要判断函数在区间a,b上是连续不断的曲线,且 f(a) f(b)0 时, f(x)0,函数 f(x)在(0, )上是增函数 故 f(x)minf(0)1a. 若函数 f(x)有零点,则f(x)min0, 即 1a0,得 a 1. 答案 (, 1 若函数变为f(x)ln x2xa,其他条件不变,求a的取值范围 解: f(x)ln x
4、2xa, f(x) 1 x2. 令 f(x)0,得 x1 2. 当 01 2时, f (x)1, 则函数 f(x)的零点为 () A. 1 2,0 B 2,0 C.1 2 D0 解析: 选 D当 x 1 时,由 f(x)2x10,解得 x0;当 x1 时,由 f(x)1log2x 0,解得 x 1 2,又因为 x1,所以此时方程无解综上函数f(x)的零点只有0. 2设 f(x)x 3bxc 是1,1上的增函数,且 f 1 2 f 1 2 0,f(3)0,f(5)0,所以 y2x没有零点,同 样 y 2 x 也没有零点;f(x)xx 1,当 x0 时, f(x)2,当 x0, 0,x0, 1 x
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