第九章 多元函数微分学(5-10).doc
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1、习题9-5 1求下列复合函数的全导数:(1)设,而,求;(2)设,而 ,求;(3)设,求;(4)设,求.解 (1) ;(2) ;(3) ;(4) . 2. 求下列复合函数的偏导数: (1),而,求、; (2),而,求、; (3),而,求、; 解 (1) , ;(2), ;(3) , .3. 求下列函数的一阶偏导数(其中、具有一阶连续偏导数):(1); (2).解 (1), ;(2) , , .4. 设,其中具有一阶连续偏导数,求.解 , , , 所以 .5. 设,其中为可导函数,证明: .证 , 则 左边右边.6. 设,其中为可微函数,试求 .解 , 则 .7. 设,其中具有二阶连续偏导数,求
2、,.解 , .8. 设,其中具有二阶连续偏导数,求,.解 , .9. 设,其中具有二阶连续偏导数,为二阶可导函数,求 .解 .10. 设,而,其中三阶可导,求.解 , , .11. 设,其中为可微函数,是二阶可导函数,证明: .证 , , , 左边右边,即证.12. 设,其中、均为二阶可导函数,计算.解 , , ,将代入,得 .13. 如果函数满足恒等式 ()就称为次齐次函数,如果为次齐次函数,且可微,证明: .证 由方程两边对求导,得 令,即可证.14. 设的所有二阶偏导数连续,而 , 证明 及 .证 代入即可得证.15. 利用全微分形式不变性求下列函数的全微分和偏导数:(1); (2).解
3、 (1) 且 , ;(2) 且 , ,.习题9-6 1. 求下列隐函数的导数:(1); (2).解 (1)令则 , ;(2)方程两边取对数 方程两边对求导 则 .2. 求下列隐函数的偏导数:(1),求;(2),求;(3),求.解 (1)将方程两边求微分,得 所以 ,; (2)方程两边分别对、求导 , ;(3)令,则, .3. 设,其中具有一阶连续偏导数,求.解 方程两边求微分,得 所以 .4证明由方程(其中为可微函数)所确定的隐函数满足关系式 .证 方程两边求微分,得 解得 即 ,代入等式左边,得 证毕.5. 设方程确定二元函数,先求全微分,再求偏导数.解 方程两边求微分,得 所以 且 ,.6
4、. 设,(1)若是由方程所确定的隐函数,求;(2)若是由同一方程所确定的隐函数,求.解 (1)令 ,则有 而 故 ;(2)同理,由隐函数求偏导数公式 则 故 .7. 设,都是由方程所确定的具有一阶连续偏导数的函数,证明:.证 由方程确定,则若由方程确定,则若由方程确定,则故 .8.设函数,且由方程所确定,求,其中具有一阶连续偏导数.解 由方程确定隐函数,则,故 .9求下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数:(1),求;(2),求.解 (1)将方程组两边对求导,得 ,解得 ,;(2)将方程组两边对求偏导,得 ,即 解得 ,同理可得 ,.10. 若,求.解 将方程组两边求全微分,得 解得 .11.
5、 设,其中具有一阶连续偏导数,求.解 方程组两边对求偏导,固定,得 ,即解得 ,.12. 设,而,求.解 方程组,将方程组两边求全微分,得 解得 故有 所以 ,习题9-71. 设在点处沿从点到点的方向的方向导数.解 , , 故,所以 .2. 设函数及、,求在处沿方向的方向导数和梯度.解 , ,所以 , .3. 设函数在沿该点向径方向的方向导数.解 , , ,则其单位向量为所以 .4. 设函数在点处沿方向角分别为方向上的方向导数.解 故 .5. 求在点处沿方向的方向导数,并求:(1)在怎样的方向上,方向导数由最大值;(2)在怎样的方向上,方向导数由最小值;(3)在怎样的方向上,方向导数为零.解
6、,则 (1)当,即时,方向导数有最大值;(2)当,即时,方向导数有最小值;(3)当,即或时,方向导数为零.6. 设在处可微,且在该点处指向点的方向导数为,指向原点的方向导数为,求指向点的方向导数.解 , , 由题意可得 知 ,所以 .7. 设,求,并求在点的最大变化率. . 解 在任意点处梯度为 故 在点的最大变化率为8. 求函数在点处取得最大方向导数的方向,并求出此最大方向导数.解 函数在点处取得最大方向导数的方向为, 最大方向导数是.9. 一块金属板在平面上占据的区域是,已知板上各点的温度是 ()问在点处的一只昆虫为尽快地逃离到较凉的地方,它应当沿什么方向运动?解 , ,故昆虫应沿的方向运
7、动.10. 设,求,并指出空间哪些点处有.解 , 故 ,且所以 当,即时,.习题9-81. 求函数在点的二阶泰勒公式.解 , ,且的三阶及三阶以上偏导皆为零,故有.2. 求函数在点带有Lagrange型余项的三阶泰勒公式.解 , , ()所以 则 (). 3. 设是由方程所确定的隐函数,求在点处带有Peano型余项的二阶Taylor公式. 解 显然,利用隐函数求导公式可求出 , ,则 .习题9-9 1. 求下列函数的极值: (1);(2),();(3);(4). 解 (1)由,解得驻点,又 ,则在点处 ,由 ,且,故在点处取极大值,; (2)由,解得驻点、,又 , 对于驻点,由于,故点不是极值
8、点; 对于驻点,由于,故为极值点,且当时,故在点处取极大值,当时,故在点处取极小值,; (3)由,解得驻点,又 ,在点处,由于,所以在点处取极小值; (4)由于,则在不可导,且对任意有 所以在处取极大值. 2. 求函数在条件下的条件极值. 解 令,则 解得Lagrange稳定点为、,对于点,记 ,则 , 故有 则在取条件极大值,同理对于点、判定可得:条件极大值,条件极小值,.3. 求下列函数在指定区域上的最大值和最小值:(1),;(2),;(3),.解 由于各二元函数在闭区域上连续且可微,故所求最大值和最小值存在.(1)由 在内有驻点,且, 在边界及上, 在边界上,由,得驻点、且 、,比较函数
9、值可得最小值,最大值;(2)令 , 在内有驻点,且, 在边界上,构造Lagrange函数 令 解得可能的条件极值点:、,且,比较函数值可得有: ;(3) 在内,令 记得驻点,且, 在边界及上, 在边界上,比较上述函数值,在上最大值,最小值.4. 从斜边长为的一切直角三角形中,求有最大周长的直角三角形.解 设直角边长分别为、,周长为,则 ,其中,构造Lagrange函数令 ,解得Lagrange稳定点为,由连续函数的性质知,的最大值存在,且可能最大值点为、,又,所以 为的条件极大值点,即为等腰直角三角形时周长最大.5. 求原点到曲面的最短距离.解 设是曲面上任一点,则原点到点距离为 其中变量满足
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