2020届高三文科数学总复习习题:8.4 直线、平面垂直的判定与性质 Word版含答案.docx
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1、8.4直线、平面垂直的判定与性质【考点集训】考点直线、平面垂直的判定与性质1.如图,在下列四个正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G均为所在棱的中点,过E,F,G作正方体的截面,则在各个正方体中,直线BD1与平面EFG不垂直的是()答案D2.(2019届湖北武昌调研,6)如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面上,且ACPC,平面PAC平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C运动形成的图形是() A.一条线段B.一条直线C.一个圆 D.一个圆,但要去掉两个点答案D3.(2019届辽宁大连一中10月月考,9)如图,正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G,已知ADE是ADE绕直线DE
2、翻折过程中的一个图形,现给出下列命题:恒有直线BC平面ADE;恒有直线DE平面AFG;恒有平面AFG平面ADE,其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3答案D4.(2019届河南中原名校9月联考,18)在四棱锥P-ABCD中,PD平面ABCD,且底面ABCD是边长为2的菱形,BAD=60,PD=2.(1)证明:平面PAC平面PDB;(2)在图中作出点D在平面PBC内的正投影M(说明作法及其理由),并求四面体PBDM的体积.解析(1)证明:因为PD平面ABCD,AC平面ABCD,所以PDAC.在菱形ABCD中,ACBD,且PDBD=D,所以AC平面PBD.又因为AC平面PAC,所以平面P
3、AC平面PDB.(2)如图,取BC的中点E,连接DE,PE,易得BDC是等边三角形,所以BCDE.又因为PD平面ABCD,所以PDBC.又PDDE=D,所以BC平面PDE.在平面PDE中,过D作DMPE于M,则DMBC,又BCPE=E,所以DM平面PBC,即M是点D在平面PBC内的正投影.经计算得DE=3,在RtPDE中,PD=2,则PE=4+3=7,故DM=237=2217,则PM=4-127=477.所以VD-PBM=13SPBMDM=131247712217=4321.5.(2017河南郑州一模,18)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是梯形,ADBC,平面SAB平面ABCD,S
4、AB是等边三角形,已知AC=2AB=4,BC=2AD=2CD=25,M是SD上任意一点,SM=mMD,且m0.(1)求证:平面SAB平面MAC;(2)试确定m的值,使三棱锥S-ABC的体积为三棱锥S-MAC的体积的3倍.解析(1)证明:在ABC中,AB=2,AC=4,BC=25,AB2+AC2=BC2,故ABAC.又平面SAB平面ABCD,平面SAB平面ABCD=AB,AC平面ABCD,AC平面SAB,又AC平面MAC,故平面SAB平面MAC.(2)VS-MAC=VM-SAC=mm+1VD-SAC=mm+1VS-ADC,VS-ABCVS-AMC=m+1mVS-ABCVS-ACD=m+1mSAB
5、CSACD=m+1m2=3m=2.炼技法【方法集训】方法1证明线线垂直的方法1.(2017课标全国,10,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则() A.A1EDC1B.A1EBDC.A1EBC1D.A1EAC答案C2.(2019届河南洛阳期中考试,19)如图,等腰三角形PAD所在平面与菱形ABCD所在平面互相垂直,已知点E,F,M,N分别为BA,BC,AD,AP的中点.(1)求证:ACPE;(2)求证:PF平面BNM.证明(1)连接PM,ME,BD.E,M分别为AB,AD的中点,MEBD.在菱形ABCD中,ACBD,ACME.平面PAD平面ABCD,在等腰三角形PA
6、D中,PMAD,且平面PAD平面ABCD=AD,PM平面ABCD.又AC平面ABCD,PMAC.又PMME=M,AC平面PME,PE平面PME,ACPE.(2)连接DF.E,F,M,N分别为BA,BC,AD,AP的中点,MNPD.MN平面PDF,PD平面PDF,MN平面PDF,又知MBDF,MB平面PDF,DF平面PDF,MB平面PDF.MNMB=M,平面MNB平面PDF,PF平面PDF,PF平面BNM.方法2证明线面垂直的方法1.(2018课标全国,19,12分)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M
7、在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.解析(1)证明:因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OPAC,且OP=23.连接OB,因为AB=BC=22AC,所以ABC为等腰直角三角形,且OBAC,OB=12AC=2.由OP2+OB2=PB2知,OPOB.由OPOB,OPAC知PO平面ABC.(2)作CHOM,垂足为H.又由(1)可得OPCH,所以CH平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC=12AC=2,CM=23BC=423,ACB=45.所以OM=253,CH=OCMCsinACBOM=455.所以点C到平面POM的距离为455.2.(2018广东
8、茂名模拟,19)如图,在三棱锥P-ABC中,PAAC,PCBC,M为PB的中点,D为AB的中点,且AMB为正三角形.(1)求证:BC平面PAC;(2)若PA=2BC,三棱锥P-ABC的体积为1,求点B到平面DCM的距离.解析(1)证明:在正三角形AMB中,D是AB的中点,所以MDAB.因为M是PB的中点,D是AB的中点,所以MDPA,故PAAB.又PAAC,ABAC=A,AB,AC平面ABC,所以PA平面ABC.因为BC平面ABC,所以PABC.又PCBC,PAPC=P,PA,PC平面PAC,所以BC平面PAC.(2)设AB=x,则MD=32x,PA=3x,由PA=2BC,得BC=32x,由(
9、1)可知BC平面PAC,又AC平面PAC,所以BCAC,所以AC=12x,由三棱锥P-ABC的体积为V=13SABCPA=18x3=1,得x=2.设点B到平面DCM的距离为h.因为AMB为正三角形,所以AB=MB=2.因为BC=3,BCAC,AC=1.所以SBCD=12SABC=1212BCAC=121231=34.因为MD=3,由(1)知MDPA,PA平面ABC,所以MD平面ABC,因为DC平面ABC,所以MDDC.在ABC中,CD=12AB=1,所以SMCD=12MDCD=1231=32.因为VM-BCD=VB-MCD,所以13SBCDMD=13SMCDh,即13343=1332h,所以h
10、=32.故点B到平面DCM的距离为32.方法3证明面面垂直的方法1.(2019届辽宁六校协作体期初联考,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,点E在棱PC上(异于点P,C),平面ABE与棱PD交于点F.(1)求证:ABEF;(2)若AFEF,求证:平面PAD平面ABCD.证明(1)因为四边形ABCD是矩形,所以ABCD.又AB平面PDC,CD平面PDC,所以AB平面PDC.又因为AB平面ABE,平面ABE平面PDC=EF,所以ABEF.(2)因为四边形ABCD是矩形,所以ABAD.因为AFEF,且由(1)知ABEF,所以ABAF,由点E在棱PC上(异于点P,C),所以F点异于
11、点P,D,所以AFAD=A,又AF,AD平面PAD,所以AB平面PAD,又AB平面ABCD,所以平面PAD平面ABCD.2.(2017山东,18,12分)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD.(1)证明:A1O平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM平面B1CD1.证明(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,所以A1O1OC,A1O1=OC,因此四边形A1
12、OCO1为平行四边形,所以A1OO1C.又O1C平面B1CD1,A1O平面B1CD1,所以A1O平面B1CD1.(2)因为ACBD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EMBD,又A1E平面ABCD,BD平面ABCD,所以A1EBD,因为B1D1BD,所以EMB1D1,A1EB1D1,又A1E,EM平面A1EM,A1EEM=E,所以B1D1平面A1EM,又B1D1平面B1CD1,所以平面A1EM平面B1CD1.方法4翻折问题的处理方法1.(2018广东东莞模拟,18)如图1,矩形ABCD中,AB=12,AD=6,E、F分别为CD、AB边上的点,且DE=3,BF=4,将BCE沿BE折起至PBE的位
13、置(如图2所示),连接AP、PF,其中PF=25.(1)求证:PF平面ABED;(2)求点A到平面PBE的距离.解析(1)证明:在题图2中,连接EF,由题意可知,PB=BC=AD=6,PE=CE=CD-DE=9,在PBF中,PF2+BF2=20+16=36=PB2,所以PFBF.在题图1中,连接EF,作EHAB于点H,利用勾股定理,得EF=62+(12-3-4)2=61,在PEF中,EF2+PF2=61+20=81=PE2,PFEF,又BFEF=F,BF平面ABED,EF平面ABED,PF平面ABED.(2)如图,连接AE,由(1)知PF平面ABED,PF为三棱锥P-ABE的高.设点A到平面P
14、BE的距离为h,VA-PBE=VP-ABE,即131269h=131212625,h=853,即点A到平面PBE的距离为853.2.(2015陕西,18,12分)如图1,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD=2,AB=BC=12AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将ABE沿BE折起到图2中A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.(1)证明:CD平面A1OC;(2)当平面A1BE平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为362,求a的值.解析(1)证明:在题图1中,因为AB=BC=12AD=a,E是AD的中点,BAD=2,所以BEAC.即在题图2中,BEA1O,BEOC,从而B
15、E平面A1OC,又BCDE,所以四边形BCDE为平行四边形,所以CDBE,所以CD平面A1OC.(2)因为平面A1BE平面BCDE,且平面A1BE平面BCDE=BE,A1OBE,A1O平面A1BE,所以A1O平面BCDE,即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.由题图1知,A1O=22AB=22a,S四边形BCDE=BCAB=a2.从而四棱锥A1-BCDE的体积为V=13S四边形BCDEA1O=13a222a=26a3,由26a3=362,得a=6.过专题【五年高考】A组统一命题课标卷题组考点直线、平面垂直的判定与性质1.(2018课标全国,19,12分)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在
16、平面垂直,M是CD上异于C,D的点.(1)证明:平面AMD平面BMC;(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC平面PBD?说明理由.解析本题考查平面与平面垂直的判定与性质、直线与平面平行的判定与性质.(1)证明:由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因为M为CD上异于C,D的点,且DC为直径,所以DMCM.又BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.(2)当P为AM的中点时,MC平面PBD.证明如下:连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形,所以O为AC的中点.连接OP,因为P为AM中点,所
17、以MCOP.MC平面PBD,OP平面PBD,所以MC平面PBD.2.(2018课标全国,18,12分)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,ACM=90.以AC为折痕将ACM折起,使点M到达点D的位置,且ABDA.(1)证明:平面ACD平面ABC;(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=23DA,求三棱锥Q-ABP的体积.解析(1)证明:由已知可得,BAC=90,BAAC.又BAAD,所以AB平面ACD.又AB平面ABC,所以平面ACD平面ABC.(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=32.又BP=DQ=23DA,所以BP=22.作QEAC,垂足为E,则QE
18、13DC.由已知及(1)可得DC平面ABC,所以QE平面ABC,QE=1.因此VQ-ABP=13QESABP=13112322sin 45=1.3.(2017课标全国,18,12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90.(1)证明:平面PAB平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,且四棱锥P-ABCD的体积为83,求该四棱锥的侧面积.解析(1)证明:由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,从而AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)解法一:在平面PAD内作PEAD,垂足为E.由(1)知,A
19、B平面PAD,故ABPE,可得PE平面ABCD.设AB=x,则由已知可得AD=2x,PE=22x.故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=13ABADPE=13x3.由题设得13x3=83,故x=2.从而PA=PD=2,AD=BC=22,PB=PC=22.可得四棱锥P-ABCD的侧面积为12PAPD+12PAAB+12PDDC+12BC2sin 60=6+23.解法二:由题设条件和(1)可知四棱锥P-ABCD是一个正方体的一部分,底面ABCD是正方体的一个对角面,P是正方体的一个顶点(如图),设正方体的棱长为a,则VP-ABCD=132aa22a=13a3,由题设得13a3=83,解得a=2
20、,从而PA=PD=2,AD=BC=22,PB=PC=22,故四棱锥P-ABCD的侧面积为12PAPD+12PAAB+12PDDC+12BC2sin 60=6+23.4.(2017课标全国,19,12分)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,AD=CD.(1)证明:ACBD;(2)已知ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AEEC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.解析(1)证明:取AC的中点O,连接DO,BO.因为AD=CD,所以ACDO.又由于ABC是正三角形,所以ACBO.从而AC平面DOB,故ACBD.(2)连接EO.由(1)及题设知ADC=90,所
21、以DO=AO.在RtAOB中,BO2+AO2=AB2.又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90.由题设知AEC为直角三角形,所以EO=12AC.又ABC是正三角形,且AB=BD,所以EO=12BD.故E为BD的中点,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的12,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的12,即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为11.5.(2016课标全国,18,12分)如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G
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