高考数学复习圆锥曲线与方程变式题.pdf
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1、高考数学复习圆锥曲线与方程变式题 1 (人教 A 版选修 11,21 第 39 页例 2) 如图,在圆 22 4xy上任取一点P,过点 P 作 X 轴 的垂线段PD,D 为垂足当点P 在圆上运动时,线段PD 的中点 M 的轨迹是什么? 变式 1:设点 P 是圆 22 4xy上的任一点,定点D 的坐标为( 8,0) 当点 P 在圆上运动时,求线段PD 的中 点 M 的轨迹方程 解:设点 M 的坐标为, x y,点 P 的坐标为 00 ,xy, 则 0 8 2 x x, 0 2 y y即 0 28xx, 0 2yy 因为点 P 00 ,xy在圆 22 4xy上,所以 22 00 4xy 即 22
2、2824xy , 即 2 2 41xy,这就是动点M 的轨迹方程 变式2: 设点P 是圆 22 4xy上的任一点,定点D 的坐标为( 8,0) ,若点M 满足 2PMMD当点 P 在圆上运动时,求点M 的轨迹方程 解: 设点 M 的坐标为, x y,点 P 的坐标为 00 ,xy,由2PMMD,得 00 ,2 8,xxyyxy, 即 0 316xx, 0 3yy 因为点 P 00 ,xy在圆 22 4xy上,所以 22 00 4xy 即 22 31634xy , 即 2 2164 39 xy,这就是动点M 的轨迹方程 X Y P O D M 变式3:设点P 是曲线,0fx y上的任一点,定点D
3、 的坐标为,a b,若点M 满足 (,1)PMMDR当点 P 在曲线,0fx y上运动时,求点M 的轨迹方程 解: 设点 M 的坐标为, x y,点 P 的坐标为 00 ,xy,由PMMD,得 00 ,xxyyax by, 即 0 1xxa, 0 1yyb 因为点 P 00 ,xy在圆,0fx y上,所以 00 ,0fxy 即 1,10fxayb,这就是动点M 的轨迹方程 2 (人教 A 版选修 11,21 第 40 页练习第3 题) 已知经过椭圆 22 1 2516 xy 的右焦点 2 F作垂直于x 轴的直线A B,交椭圆于A,B 两点, 1 F是 椭圆的左焦点 (1)求 1 AF B的周长
4、; (2)如果 AB 不垂直于x 轴, 1 AF B的周长有变化吗?为什么? 变式 1(2005 年全国卷 ) :设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,过 F2作椭圆长轴的垂线交椭 圆于点 P,若 F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是 A 2 2 B 21 2 C22D21 解 一 : 设 椭 圆 方 程 为 22 22 1 xy ab , 依 题 意 , 显 然 有 212 PFF F, 则 2 2 b c a , 即 22 2 ac c a ,即 2 210ee,解得21e选 D 解二: F1PF2为等腰直角三角形,cPFcFFPF22,2 1212 . aPFPF2 21 ,acc2
5、22,12 12 1 a c 故选 D 变式 2:已知双曲线 22 22 1,(0,0) xy ab ab 的左,右焦点分别为 12 ,F F,点 P 在双曲线的 右支上,且 12 | 4|PFPF,则此双曲线的离心率e的最大值为 解一:由定义知 12 | 2PFPFa, 又已知 12 | 4|PFPF, 解得 1 8 3 PFa, 2 2 3 PFa, 在 12 PF F中,由余弦定理,得 2 222 21 8 9 8 17 3 2 3 8 2 4 9 4 9 64 cose aa caa PFF ,要求e的最大值, 即求 21 cosPFF的最小值,当1cos 21PF F时,解得 5 3
6、 e即e的最大值为 5 3 解二: 设),(yxP,由焦半径公式得aexPFaexPF 21 ,, 21 4PFPF, )(4)(aexaex, x a e 3 5 ,ax, 3 5 e,e的最大值为 5 3 变式 3(2005 年全国卷 ) :已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在 x轴上, 斜率为 1 且过椭 圆右焦点F 的直线交椭圆于A、B 两点,OAOB与(3, 1)a共线 ()求椭圆的离心率; ()设M 为椭圆上任意一点,且 (,)OMOAOBR,证明 22 为定值 解: ()设椭圆方程为 )0,(),0( 1 2 2 2 2 cFba b y a x , 则直线 AB 的方程为cxy,
7、代入1 2 2 2 2 b y a x ,化简得 02)( 22222222 bacacxaxba. 设 A( 11, y x) ,B 22, (yx) ,则 22222 1212 2222 2 ,. a ca ca b xxx x abab 由 1212(,),(3, 1),OAOBxxyyaOAOB与a共线,得 ,0)()(3 2121 xxyy又cxycxy 2211 ,, . 2 3 ,0)()2(3 212121 cxxxxcxx 即 2 32 22 2 c ba ca ,所以 3 6 .3 2222a bacba , 故离心率. 3 6 a c e ()证明:由()知 22 3ba
8、,所以椭圆1 2 2 2 2 b y a x 可化为.33 222 byx 设 ( ,)OMx y ,由已知得),(),(),( 2211 yxyxyx . , 21 21 yyy xxx ),(yxM在椭圆上,.3)( 3)( 22 21 2 21 byyxx 即.3)3(2)3()3( 2 2121 2 2 2 2 22 1 2 1 2 byyxxyxyx 由()知. 2 1 , 2 3 , 2 32222 21 cbca c xx 2222 2 1222 3 , 8 a ca b x xc ab 12121212 2 1212 222 33()() 43()3 39 30. 22 x x
9、y yx xxcxc x xxx cc ccc 又 22 2 2 2 22 1 2 1 33,33byxbyx,代入得.1 22 故 22 为定值,定值为1. 3 (人教 A 版选修 11,21 第 47 页习题 2.1A 组第 6 题) 已知点 P 是椭圆 22 1 54 xy 上的一点,且以点P 及焦点 1 F, 2 F为顶点的三角形的面积等于 1,求点 P 的坐标 变式 1(2004 年湖北卷理) :已知椭圆1 916 22 yx 的左、右焦点分别为F1、F2,点 P 在椭 圆上,若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点,则点P 到 x 轴的距离为 A 5 9 B3 C 7 79 D
10、4 9 解:依题意,可知当以F1或 F2为三角形的直角顶点时,点P 的坐标为 9 7, 4 ,则点 P 到 x 轴的距离为 4 9 ,故选 D (可以证明不存在以点P 为直角顶点的三角形) 变式 2( 2006年全国卷) :已知ABC的顶点 B、C在椭圆 2 2 1 3 x y上,顶点 A是椭圆的一 个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则ABC的周长是 A2 3B6C4 3D12 解: 由于椭圆 2 2 1 3 x y的长半轴长3a,而根据椭圆的定义可知ABC的周长为 44 3a,故选 C 4 (人教 A 版选修 11,21 第 47 页习题 2.1B 组第 3 题) 如图,矩形ABCD
11、中,2ABa,2BCb, E,F,G,H 分别是矩形四条边的中点,R,S,T 是 线段 OF 的四等分点,R,S,T是线段 CF 的四 等分点请证明直线ER 与GR、ES与GS、ET 与 GT的交点 L,M,N 在同一个椭圆上 变式 1:直线:1lykx与双曲线 22 :21Cxy的右支交于不同的两点A、B.若双曲线C 的右焦点F 在以 AB 为直径的圆上时,则实数k 解: 将直线:1lykx代入双曲线C 的方程 22 21xy整理,得 . 022)2( 22 kxxk 依题意,直线L 与双曲线C 的右支交于不同两点,故 2 22 2 2 20, (2 )8(2)0, 2 0, 2 2 0.
12、2 k kk k k k 解得22k 设 A、B 两点的坐标分别为 ),( 11 yx、),( 22 yx,则由式得 . 2 2 , 2 2 222 2 21 k xx k k xx 双曲线 C 的右焦点 F ,0c 在以 AB 为直径的圆上,则由FAFB 得: .0) 1)(1()( . 0)( 2121 2121 kxkxcxcx yycxcx 即 整理,得.01)()1( 2 2121 2 cxxckxxk 把式及 2 6 c代入式化简,得.06625 2 kk 解得)(2, 2( 5 66 5 66 舍去或k k,故 5 66 k N M L T / S/ R / T SRO H G
13、F E D C B A 变式 2(2002 年广东卷):A、B 是双曲线 2 2 1 2 y x上的两点,点N(1,2)是线段AB 的 中点 ()求直线AB 的方程; ()如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C、D 两点,那么A、B、C、D 四点是否 共圆?为什么? 解: ()直线AB 的方程为1yx (求解过程略) ()联立方程组 2 2 1, 1. 2 yx y x 得1,0A、3,4B 由 CD 垂直平分AB,得 CD 方程为3yx 代入双曲线方程 2 2 1 2 y x整理,得 2 6110xx 记 11 ,C x y, 22 ,D xy以及 CD 的中点为 00 ,Mxy, 则有
14、 12 12 6, 11. xx x x 从而3,6M 2 121212 2244 10CDxxxxx x 2 10MCMD 又 22 31602 10MAMB 即 A、 B、C、D 四点到点M 的距离相等 故 A、 B、C、D 四点共圆 变式 3(2005 年湖北卷):设 A、B 是椭圆 22 3yx上的两点,点N(1, 3)是线段AB 的中点,线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C、D 两点 . ()确定的取值范围,并求直线AB 的方程; ()试判断是否存在这样的,使得 A、B、C、 D 四点在同一个圆上?并说明理由. () 解法 1:依题意,可设直线AB 的方程为 22 3, 3) 1(y
15、xxky代入整理,得 . 0) 3()3(2) 3( 222 kxkkxk 设是方程则 212211 ,),(),(xxyxByxA的两个不同的根, 0)3(3)3( 4 22 kk )3, 1(. 3 )3(2 2 21 N k kk xx由且是线段 AB 的中点,得 .3)3(, 1 2 2 21 kkk xx 解得k 1,代入得,12,即的取值范围是(12,). 于是,直线AB 的方程为. 04),1(3yxxy即 解法 2:设则有),(),( 2211 yxByxA .0)()(3 3 ,3 21212121 2 2 2 2 2 1 2 1 yyyyxxxx yx yx 依题意,. )
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