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1、2010 高考数学热点考点题型探析 基本不等式 热 点 考 点 题 型 探 析 考点 1 利用基本不等式求最值(或取值范围 ) 题型 1. 当积ab为定值时 , 求和ab最小值 例 1 .已知0,0xy且满足 28 1 xy , 求xy的最小值 . 【解题思路】利用 28 1 xy ,构造均值不等式 解析: 2828 () 1() ()28 yx xyxyxy xyxy ,0,0xy, 28 0,0 yx xy 102 1618xy , 当且 仅当 28yx xy 时 等 号成立, 即 22 4yx, 2yx, 又 28 1 xy , 6,12xy当6,12xy时,xy有最小值18. 【名师指
2、引】 利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即 (1)要求各数均为正数;(2)要求“和” 或“积”为定值;(3)要注意是否具备等号成立的条件 题型 2. 当和ab为定值时 , 求积ab最大值 例 2. 已知 x0,y0,且 3x+4y=12 ,求 lgx+lgy 的最大值及此时x、y 的值 【解题思路】这是条件最值问题,但目标式与已知条件的联系较隐蔽,不易发现. 应将lgx+lgy转化 成 lgxy 考虑 解析 x0,y0,3x+4y=12 , yxxy43 12 1 3 2 43 12 1 2 yx , lgx+lgy=lgxy lg3 由 yx yx yx 43 1243 0,0 解
3、得 2 3 2 y x 当 x=2, y= 2 3 时, lgx+lgy 取得最大值lg3 【名师指引】利用基本不等式求最值是高考中最常考的方法之一 题型 3.灵活运用基本不等式求取值范围 例 3. 若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab的取值范围是_ 【解题思路】可通过多种途经将等式化为可利用重要不等式的不等关系求解 解法一由 a、bR +,由重要不等式得 a+b2ab, 则 ab=a+b+32ab+3, 即32 abab) 1)(3(0ababab0 3, ab9 解法二a、b 为正数,ab=a+b+3 3 33ab0, 两边立方得a3b334ab a 2 b 234, ab0,
4、 ab9 解法三原条件式变为ab-3=a+b, a、b 均为正数,故式两边都为正数,两边平方得 a 2b2-6ab+9=a2+b2+2ab, a 2+b22ab, a 2b2-6ab+94ab, 即 a 2b2-10ab+90,(ab-1)(ab-9)0, 由式可知ab3,ab9 解法四把 a、bR +看作一元二次方程的两个根,此方程为 x 2+(3-ab)x+ab=0 ,则 =(3-ab)2-4ab0, 即 (ab)2-10ab+90, (ab-9)(ab-1)0, ab-1=a+b+20 成立,ab9 解法五由已知得 a(b-1)=b+3 ,显然 a1, 1 3 b b a, 5 1 4
5、1 1 4)1(5)1( 1 3 2 b b b bb b b bab9542, 即 ab9 【名师指引】本题用了转化思想(等式转化为不等式)、方程思想、函数思想,这是解决数学问题经 常用的思想方法 【新题导练】 1. 若1x,则x=_时 , 1 1 x x有最小值,最小值为_. 解析 : 1x, 01x, 0 1 1 x , 1 1 x x= 1 11 1 x x 1 2 (1)1 1 x x 211,当且仅当 1 1 1 x x即0x时1) 1 1 ( min x x. 2. .(2008 华附 )已知,*41x yRxy, 且,则 11 xy 的最小值为 解析 : 9 4 5 4411
6、*, y x x y y yx x yx yx Ryx,当且仅当 6 1 , 3 1 yx时取等号 . 3. 已知一动直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积的数值比直线l的纵、横截距之和大1,求这三 角形面积的最小值 解析:设直线l的方程1 b y a x (a0, b0),则1 2 1 baab, a+b2ab, ab 2 1 12 ab,即24)( 2 abab0,解得ab62, ab 2 1 2 )62( 2 1 ,当 a=b=2+6时,三角形面积的最小值为5+26 考点 2 利用基本不等式证明 题型:用综合法证明简单的不等式 例1.已知, ,a b cR, 求证 : 222 abc
7、abbcca. 【解题思路】因为是轮换对称不等式,可考虑由局部证整体. 解析 222222 2,2,2abab bcbc acac, 相加整理得 222 abcabbcca. 当且仅当abc时等号成立 . 【名师指引】综合法证明不等式常用两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一结论,运用时要 结合题目条件,有时要适当变形. 例 2. 已知 a,b 为正数,求证: a b b a ba 【解题思路】观察结构用基本不等式加以证明. 解析 1:a0,b0, b b a ab b a 22, a a b ba a b 22, 两式相加,得 a a b b b a ba22, a b b a ba
8、 解析 2. a bb b aa baba a b b a )(abba2 2 )(ba a b b a ba 解析 3. a0,b0,0ba, 欲证 a b b a ba, 即证 ba bbaa ba, 只要证bbaaabba, 只要证 2 )(bbaa 2 )(abba, 即证ababba2 33 22 2abababba, 只要证a 3+b3ab(a+b), 只要证a2+b2-abab, 即证(a-b) 20 (a-b)20 成立,原不等式成立 【名师指引】当要证明的不等式形式上比较复杂时,常通过分析法寻求证题思路 “分析法”与“综合法”是数学推理中常用的思维方法,特别是这两种方法的综合
9、运用能力,对解决 实际问题有重要的作用这两种数学方法是高考考查的重要数学思维方法 【新题导练】 4. 已知,a bR, 求证 : 22 1ababab 解析: 222 ()20ababab 22 2abab又 2 12aa 2 12bb 由得 22 222222ababab 22 1ababab, 又不等式、中等号成 立的条件分别为ab,1,1ab, 故不能同时成立, 从而 22 1ababab. 5.设 x0,y0 且 xy,求证 2 1 22 3 1 33 yxyx 证明:由x0,y0 且 xy,要证明 2 1 22 3 1 33 yxyx 只需 3 22 2 33 yxyx即 22223
10、3 32yxyxyx 只需 22 2yxxy 由条件 , 显然成立 . 原不等式成立 考点 3 基本不等式在实际中的应用 题型 1.处理恒成立的有关问题 例 1. (2008 中山 )若 , x yR, 且xya xy恒成立 , 则a的最小值是 _ 【解题思路】分离系数得 xy a xy 令( , ) xy f x y xy 求最大值即可 解析 : 事实上求函数( , ) xy f x y xy 的最大值 , 即 2 ()2 ( , )1 xyxy f x y xyxy 的最大值 , 运用基 本不等式不难得到2a. 【名师指引】分离系数法是处理参数取值范围的常用方法. 题型 2.处理函数应用题
11、 .例 2.(2008梅县)某厂生产某种产品的年固定成本为250 万元 ,每生产x千件 ,需另投入成本为( )C x.当年产 量不足80 千件时 , 2 1 ( )10 3 C xxx(万元 );当年产量不小于80 千件时 , 10000 ( )511450C xx x (万 元).每件商品售价为0.05 万元 .通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完. (1)写出年利润L(万元 )关于年产量x(千件 )的函数解析式 ; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 【解题思路】凑出基本不等式的形式. 解析 : (1)当080x时, 2211 ( )0.05 10001025
12、040250 33 L xxxxxx 当80x时, 1000010000 ( )0.05 10005114502501200()L xxxx xx 21 40250,080 3 ( ) 10000 1200(),80 xxx L x xx x (2)当080x时, 2 1 ( )(60)950 3 L xx,此时 ,当60x时,( )L x取得最大值(60)950L(万元 ); 当80x时, 1000010000 ( )1200 ()1200 212002001000L xxx xx 此时 ,当 10000 x x 时,即100x时,( )L x取得最大值1000 万元 . 所以 ,当产量为1
13、00 千件时 ,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为1000 万元 . 【名师指引】 形如函数(0) p yxp x 的形式求最值时可考虑用基本不等式,但要注意条件的限制, 可借助函数的图像解题,必要时借助于导数. 题型 3.处理数列应用题 例 3. 某乡为提高当地群众的生活水平, 由政府投资兴建了甲、乙两个企业, 2007 年该乡从甲企业获得利润 320 万元 , 从乙企业获得利润720 万元 . 以后每年上交的利润是:甲企业以1.5 倍的速度递增, 而乙企业则 为上一年利润的 3 2 . 根据测算 , 该乡从两个企业获得的利润达到2000 万元可以解决温饱问题, 达到8100 万元可以
14、达到小康水平. (1)若以2007 年为第一年 , 则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年, 该年还需要筹集多少 万元才能解决温饱问题? (2)试估算2015 年底该乡能否达到小康水平?为什么? 【解题思路】经审题抽象出数列模型 解析 ()若以2007 年为第一年 , 则第 n 年该乡从这两家企业获得的利润为 ) 1( ,) 3 2 (720) 2 3 (320 11 ny nn n = 1111 ) 3 2 (9) 2 3 (4802) 3 2 (9) 2 3 (480 nnnn =9606802 当且仅当 11 ) 3 2 (9) 2 3 (4 nn , 即 n=2 时, 等号成立
15、, 所以第二年(2008 年)上交利润最少,利润为960 万元 . 由 2000 960=1040(万元)知:还需另筹资金1040 万元可解决温饱问题. () 2015 年为第 9 年,该年可从两个企业获得利润 88 9 ) 3 2 (720) 2 3 (320y 16 8181 20 1616 8181 320) 2 3 (320 8 810058120 所以该乡到2015 年底可以达到小康水平. 【名师指引】本题重点考查数列的相关知识,基本不等式起到了工具性的作用. 【新题导练】 6. 已知函数 12 ( )f x ax ,若02xxf)(在( 0,+)上恒成立,求a的取值范围。 解析:因
16、为02xxf)(在( 0,+)上恒成立,即02 21 x xa )( x x a 1 2 1 )( x x 1 2的最小值为4 4 1 a 解得 4 1 0aa或 7. (广东省潮州金中08-09 学年高三上学期期中考试)某种汽车的购车费用是10 万元,每年使用的保险 费、养路费、汽油费约为0.9万元,年维修费用第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元。问这种汽 车使用多少年时,它的年平均费用最小?最小值是多少? 解析:设使用 ()x xN年的年平均费用为y万元则使用x年的维修总费用为 0.20.2 0.10.1 2 xx x万元 依题得 211 100.9(0.0.1)(100.1)yxx
17、xx xx 1010 1213 1010 xx xx - 当且仅当 10 10 x x 即10x时取等号10x时y取得最小值3 万元答:这 种汽车使用10 年时,它的年平均费用最小,最小值是3 万元 . 抢 分 频 道 基础巩固训练 1.设 x0,则函数 y= (x+1 x) 2-1 在 x=_时, y 有最小值 _ 解: y= (x+1 x )2-13 =x 2+1 x 2+12+1=3答案为: _ 1_;3 2.设实数 x,y 满足 x2+2xy-1=0 ,则 x+y 的取值范围是 _ 解析: x2+2xy+y2=y2+11 ,即(x+y )2 1所以 x+y 1 或 x+y -1 答案为
18、 (-, -11, +)_ 3.(广东省梅州、揭阳两市四校2008 届高三第三次联考)设x,y 均为正实数,且 3 1 2 1 2 1 yx , 则 xy 的最小值为 解析:由 3 1 2 1 2 1 yx 可化为 xy =8+x+y,x,y 均为正实数 xy =8+x+yxy28(当且仅当x=y 等号成立)即xy-2xy-8 0 可解得xy4,即 xy16 故 xy 的最小值为16。 4.半径为 4 的球面上有A、B、C、D四点,且AB,AC,AD两两互相垂直,则ABC、ACD、ADB面 积之和 ABCACDADB SSS的最大值为()C A8 B16 C 32 D 64 解析:由AB,AC
19、,AD两两互相垂直,将之补成长方体知AB 2+AC2+AD2=(2 R) 2=64 111 222 ABCACDADB SSSABACACADADAB 222222 444 ABACACADADAB = 222 32 2 ABACAD 等号当且仅当ABACAD取得,所以 ABCACDADB SSS的最大值为32 ,选 C 5.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与车库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与 到车站的距离成正比,如果在距车站10 公里处建仓库,这两项费用y1和 y2分别为 2 万元和 8 万元,那么 要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站多少公里处? 解析:由已知y1=
20、 x 20 ;y2=0.8x(x 为仓库与车站距离 )费用之和y=y1+y2=0.8x+ x 20 2 x x 20 8.0=8 当 且仅当 0.8x= x 20 即 x=5 时“ =”成立 答: 5 公里处 综合拔高训练 6.某建筑的金属支架如图所示,根据要求AB至少长2.8m, C 为AB的中点,B到D的距离比 CD 的长小 0.5m, 0 60BCD,已知建筑支架的材料每米的价格一定,问怎样设计,AB CD的长,可使建造这个支架 的成本最低? 解析:设(1,4),.BCam aCDbm 连结 BD. 则在CDB 中, 2221 ()2cos60. 2 bbaab 21 4 . 1 a b
21、 a 21 4 22 . 1 a baa a 设 2.8 1,10.4, 2 tat 则 21 (1) 3 4 22(1)347, 4 t batt tt 等号成立时0.50.4,1.5,4.tab 答:当 3,4ABm CDm时,建造这个支架的成本最低 . 7.已知).1( 1 )(x x x xf )()1(xf求的单调区间; (2)若. 4 3 )()(:, )( 1 ,0cfaf bba cba求证 讲解: (1) 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得 1 1 1)( x xf , .), 1()1,()(上分别单调递增和在区间xf (2)首先证明任意).()()
22、(, 0yfxfyxfyx有 B A C D 地面 事实上 ,)( 1111 )()(yxxyf yxxy yxxy yxxy yxxyxy y y x x yfxf 而),() 1(,yxfyxxyfyxyxxy知由 )()()(yxfyfxf , 0 4 ) 2 ( 1 )( 1 2 2a bba bba c .3 4 22 2 a aa ca 4 3 )3()()()(fcafcfaf. 8. (广东省六校2009 届高三第二次联考试卷)一辆邮政车自A 城驶往 B 城,沿途有n 个车站(包括起点 站 A 和终点站B),每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个,同时又要装上该站发往后
23、面各 站的邮袋各一个,设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列 k a,(k=1,2,3,n ) 试求:( 1) 1 a , 23 ,aa (2)邮政车从第k 站出发时,车内共有邮袋数是多少个? (3)求数列 k a的前k 项和 K S并证明: 3 1 6 K Sn 解:满分 14 分 ( 1)由题意得: 12 3 1,(1)(2)1, (1)(2)(3)12.3 anann annn分 ( 2) 在第 k 站出发时,前面放上的邮袋共:)()2()1(knnn个 而从第二站起,每站放下的邮袋共:123( k 1)个 -5分 故)1(21 )()2() 1(kknnnak ),2, 1()1( 2 1 ) 1( 2 1 2 nkkknkkkkkn 即邮政车从第k 站出发时,车内共有邮袋数 ),2, 1( 2 nkkkn个-10分 ( 3) 2222 ,(2)(12) 1(1)(21) ()12 26 kk aknkSnnknk k kk k nkn分 33 3 (1)(321)113211 () 6636 1 114 6 K k knkkknk n kkSn等号不成立。分
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