2020版新学优数学同步人教A必修五精练:1章习题课——正弦定理和余弦定理的综合应用 Word版含解析.docx
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1、习题课正弦定理和余弦定理的综合应用课后篇巩固提升基础巩固1.在ABC中,sin Asin Bsin C=323,则cos C的值为()A.13B.-23C.14D.-14解析sin Asin Bsin C=323,由正弦定理,得abc=323,设a=3k,b=2k,c=3k(k0),则cos C=a2+b2-c22ab=9k2+4k2-9k212k2=13.答案A2.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a+b,sin C),n=(3a+c,sin B-sin A),若mn,则角B的大小为()A.30B.60C.120D.150解析mn,(a+b)(sin B-sin
2、 A)-sin C(3a+c)=0.由正弦定理,得(a+b)(b-a)=c(3a+c),即a2+c2-b2=-3ac.由余弦定理,得cos B=-32.又B为ABC的内角,B=150.故选D.答案D3.已知在ABC中,sin A+sin B=(cos A+cos B)sin C,则ABC的形状是()A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形解析根据正弦定理,原式可变形为c(cos A+cos B)=a+b,所以cb2+c2-a22bc+a2+c2-b22ac=a+b,整理得a2+b2=c2,可得C=90.故选D.答案D4.已知在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且
3、c2-b2=ab,C=3,则sinAsinB的值为()A.12B.1C.2D.3解析由余弦定理得c2-b2=a2-2abcos C=a2-ab=ab,所以a=2b,所以由正弦定理得sinAsinB=ab=2.答案C5.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bcos C=2a+c,若b=3,则ABC的外接圆面积为()A.48B.12C.12D.3解析2bcos C=2a+c,若b=3,cos C=2a+c2b=a2+b2-c22ab,可得a2+c2-b2=-ac,cos B=a2+c2-b22ac=-12,由B(0,),可得B=23,设ABC的外接圆半径为R,由正弦定理可得2R=
4、bsinB=332,解得R=3,可得ABC的外接圆面积为S=R2=3.故选D.答案D6.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b+c=2a,且3sin A=5sin B,则角C=.解析由3sin A=5sin B结合正弦定理,得3a=5b.因为b+c=2a,所以b=35a,c=75a.由余弦定理,得cos C=a2+35a2-75a22a35a=-12,故C=120.答案1207.在ABC中,B=60,a=1,c=2,则csinC=.解析由余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B=3,b=3,由正弦定理得,csinC=bsinB=332=2.答案28.已知ABC中,角A,B
5、,C所对的边分别为a,b,c,若acos B=5bcos A,asin A-bsin B=2sin C,则边c的值为.解析acos B=5bcos A,由余弦定理可得aa2+c2-b22ac=5bb2+c2-a22bc,整理可得3(a2-b2)=2c2.又asin A-bsin B=2sin C,由正弦定理可得a2-b2=2c,6c=2c2,解得c=3.答案39.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acos B-ccos B.(1)求cos B的值;(2)若BABC=2,且b=22,求a和c的值.解(1)由正弦定理,得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2R
6、sin C,其中R为ABC外接圆半径,则2Rsin Bcos C=6Rsin Acos B-2Rsin Ccos B,即sin Bcos C=3sin Acos B-sin Ccos B,可得sin Bcos C+sin Ccos B=3sin Acos B,即sin(B+C)=3sin Acos B,可得sin A=3sin Acos B.又sin A0,因此cos B=13.(2)由BABC=2,得accos B=2.由(1)知cos B=13,故ac=6,由b2=a2+c2-2accos B,得a2+c2=12,所以(a-c)2=0,即a=c,所以a=c=6.能力提升1.在ABC中,角A
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