2020版新学优数学同步人教A必修五精练:1.2 第3课时 三角形中的几何计算 Word版含解析.docx
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1、第3课时三角形中的几何计算课后篇巩固提升基础巩固1.在ABC中,AB=2,BC=5,ABC的面积为4,则cosABC等于()A.35B.35C.-35D.25解析由S=12ABBCsinABC,得4=1225sinABC,解得sinABC=45,从而cosABC=35.答案B2.某市在“旧城改造”工程中计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境.已知这种草皮的价格为a元/m2,则购买这种草皮需要()A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元解析由已知可求得草皮的面积为S=122030sin 150=150(m2),则购买草皮的费用为150a元.答案C3.在ABC中,a,b
2、,c分别为角A,B,C的对边,若2b=a+c,B=30,ABC的面积为32,则b等于()A.1+3B.1+32C.2+32D.2+3解析由12acsin 30=32,得ac=6.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos 30=(a+c)2-2ac-3ac=4b2-12-63,得b=3+1.答案A4.在ABC中,若AC=3BC,C=6,SABC=3sin2A,则SABC=()A.34B.32C.3D.2解析因为AB2=BC2+3BC2-2BC3BC32=BC2,所以A=C=6,所以SABC=3sin2A=34,故选A.答案A5.若ABC的周长等于20,面积是103,B=60,则边AC的长是(
3、)A.5B.6C.7D.8解析在ABC中,设A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60,由题意,得cos60=a2+c2-b22ac,12acsin60=103,a+b+c=20,即b2=a2+c2-ac,ac=40,a+b+c=20,解得b=7,故边AC的长为7.答案C6.已知ABC的三边分别为a,b,c,且面积S=a2+b2-c24,则角C=.解析在ABC中,SABC=a2+b2-c24,而SABC=12absin C,a2+b2-c24=12absin C.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C,cos C=sin C,C=45.答案457.已知三角形的面积为14,其外接圆
4、面积为,则这个三角形的三边之积等于.解析设三角形的外接圆半径为R,则由R2=,得R=1.由S=12absin C=abc4R=abc4=14,故abc=1.答案18.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,求证:ab-ba=ccosBb-cosAa.证明由余弦定理的推论得cos B=a2+c2-b22ac,cos A=b2+c2-a22bc,代入等式右边,得右边=ca2+c2-b22abc-b2+c2-a22abc=2a2-2b22ab=a2-b2ab=ab-ba=左边,故原式得证.9.如图,在ABC中,BC=5,AC=4,cosCAD=3132,且AD=BD,求ABC的面积.解设C
5、D=x,则AD=BD=5-x.在CAD中,由余弦定理,得cosCAD=42+(5-x)2-x224(5-x)=3132,解得x=1.CD=1,AD=BD=4.在CAD中,由正弦定理,得ADsinC=CDsinCAD,则sin C=ADCD1-cos2CAD=41-31322=387.SABC=12ACBCsin C=1245387=1547,故ABC的面积为1547.10.若ABC的三边长分别为a,b,c,面积为S,且S=c2-(a-b)2,a+b=2,求面积S的最大值.解S=c2-(a-b)2=c2-a2-b2+2ab=2ab-(a2+b2-c2).由余弦定理,得a2+b2-c2=2abco
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