2019秋高三数学上学期期末试题汇编:23.简单的几何体结构、表面积和体积 球 2 Word版含解析.doc
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1、(辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第五次模拟数学(理)试题)11.将半径为3,圆心角为的扇形围成一个圆锥,则该圆锥的内切球的表面积为 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由题中条件求出圆锥的高和底面圆半径,再由圆锥的内切球和圆锥底面以及母线都相切,列出等式,可求出球的半径,进而可得出结果.【详解】将半径为3,圆心角为的扇形围成一个圆锥,设圆锥的底面圆半径为,则有,所以,设圆锥的内切球半径为,结合圆锥和球的特征,可知:内切球球心必在圆锥的高线上,设圆锥的高为,因为圆锥母线长为3,所以,所以有,解得,因此内切球的表面积为.故选B【点睛】本题主要考查圆锥内切球的相关计算,
2、只需先求出圆锥的底面圆半径和高,再结合圆锥与球的结构特征,即可求出结果,属于常考题型.(辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第五次模拟数学(理)试题)8.如图所示,网络纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某四棱锥的三视图,则该几何体的体积为( )A. 2 B. C. 6 D. 8【答案】A【解析】【分析】先由三视图确定该四棱锥的底面形状,以及四棱锥的高,再由体积公式即可求出结果.【详解】由三视图可知,该四棱锥为斜着放置的四棱锥,四棱锥的底面为直角梯形,上底为1,下底为2,高为2,四棱锥的高为2,所以该四棱锥的体积为.故选A【点睛】本题主要考查几何的三视图,由几何体的三视图先还原几何体,再由体
3、积公式即可求解,属于常考题型.(河北省武邑中学2019届高三下学期第一次质检数学(理)试题)9.如图1,已知正方体ABCDA1B1ClD1的棱长为a,动点M、N、Q分别在线段上,当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示时,三棱锥Q-BMN的正视图面积等于( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析:由三棱锥的俯视图分析可知,此时为的中点,与点重合,与点重合所以正视图面积等于故B正确考点:三视图(河北省武邑中学2019届高三下学期第一次质检数学(理)试题)10.已知三棱锥P-ABC中,且,则该三棱锥的外接球的体积等于( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由正弦定理可求出
4、外接圆的半径,设外接圆的圆心为,根据题意可得三棱锥的外接球的球心在过且与平面垂直的直线上,结合勾股定理可求得球的半径,于是可得外接球的体积【详解】如图,设外接圆的圆心为,半径为,则,由题意得球心在过且与平面垂直的直线上,令,则,设球半径为,则在中有,在中有,由两式得,所以,所以该三棱锥的外接球的体积为故选A【点睛】解答几何体的外接球的问题时,关键在于如何确定外接球球心的位置和半径,其中球心在过底面多边形的外接圆的圆心且与底面垂直的直线上,且球心到几何体各顶点的距离相等,再在直角三角形中结合勾股定理求解可得球的半径(北京市海淀区2019届高三4月期中练习(一模)数学文试题)6.某四棱锥的三视图如
5、图所示,其中,且.若四个侧面的面积中最小的为,则的值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意还原几何体,表示最小面积即可得到a值.【详解】解:该几何体如下图所示,因为,所以,三角形APD的面积最小,即,所以,解得:故选:B【点睛】本题考查了由三视图求几何体的表面积,根据三视图判断相关几何量的数据是解答问题的关键(山东省济南市2019届高三3月模拟考试理科数学试题)9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) 主视图 左视图 俯视图A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三视图得到原几何体为四棱锥,分别求出每个面的面积,得到表面积.【详解】根据三
6、视图可知原几何体为四棱锥,其表面积为故选B项.【点睛】主要考查了将三视图还原出原几何体,属于简单题.(陕西省汉中市略阳天津高级中学、留坝县中学、勉县二中等12校2019届高三下学期校级联考数学(文)试题)8.我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.其中“幂”是截面积,“势”是几何体的高,意思是两等高立方体,若在每一等高处的截面积都相等,则两立方体的体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”,则该不规则几何体的体积为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由祖暅原理可知,该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等,由三视图知
7、几何体是一个正方体去掉一个半圆柱,如图:正方体的体积为,半圆柱的体积为,从而其体积为,故选B(四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断性考试数学(理)试题)10.在空间直角坐标系中,四面体各顶点坐标分别为,则该四面体外接球的表面积是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】在空间坐标系里画出四个点,可以补成一个长方体,然后求出其外接球的半径,再求外接球的表面积.【详解】如图,在空间坐标系里画出四个点,可得,面,因此可以把四面体补成一个长方体,其外接球的半径所以,外接球的表面积为,故选B项.【点睛】本题考查几何体的直观图画法,图形的判断,考查空间想象能力,对所画出的几何体进行
8、补充成常见几何体求外接球半径,属于中档题.(黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第一次模拟考试(内考)数学(理)试题)16.在四面体中,二面角的大小为,则四面体外接球的半径为_.【答案】【解析】画出图象如下图所示,其中为等边三角形边的中点,为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心在点的正上方,也在点的正上方.依题意知,在中,所以外接圆半径.(黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第一次模拟考试(内考)数学(理)试题)3.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( ) 正视图 侧视图俯视图A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由三视图可判断该几何体为三棱锥,结合三棱锥的
9、体积公式即可求出结果.【详解】由三视图可知该几何体为三棱锥,且底面为直角三角形,直角边分别为1和2,三棱锥的高为2,所以该三棱锥的体积为.故选A【点睛】本题主要考查根据几何体的三视图求几何体体积问题,首先由三视图还原几何体,再由体积公式求解即可,属于常考题型.(福建省2019届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列数学(理科)适应性练习(一)7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为 A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先还原几何体,再根据正方体以及三棱锥体积公式求结果.【详解】本题的多面体是从长为2的正方体中,在上底的四个角处,分别
10、切割四个相同的三棱锥余下的部分. 正方体体积为,割去部分的体积为,故该多面体的体积为. 选C.【点睛】本题考查三视图以及三棱锥体积公式,考查基本分析求解能力,属基本题.(福建省2019届高中毕业班数学学科备考关键问题指导系列数学(理科)适应性练习(一)10.已知三棱锥的四个顶点均在球的球面上,和所在的平面互相垂直,则球的表面积为A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图所示,为直角,即过ABC的小圆面的圆心为BC的中点,和所在的平面互相垂直,则圆心在过的圆面上,即的外接圆为球的大圆,由等边三角形的重心和外心重合易得球半径R=2,球的表面积为,故选C(福建省2019届高三毕业班备考关键问题指
11、导适应性练习(四)数学(文)试题)9.已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图为全等的直角梯形,俯视图为直角三角形则该几何体的表面积为( )A. 6 +12B. 16 +12C. 6 +12D. 16 +12【答案】B【解析】【分析】由题中所给的三视图画出此几何体的直观图,可知该几何体为三棱台,且上、下底面均为等腰直角三角形,一条侧棱垂直于底面,求出其表面积即可.【详解】此几何体的直观图如图所示可知此几何体为三棱台上、下底面均为等腰直角三角形,直角边长分别为2和4,侧棱平面ABC,且=2棱台3个侧面均为直角梯形,且,所以此几何体的表面积为 ,故B正确【点睛】该题考查的是有关几何体的三视
12、图的问题,涉及到的知识点有根据三视图还原几何体,求几何体的表面积,属于中档题目.(福建省2019届高三毕业班备考关键问题指导适应性练习(四)数学(文)试题)11.已知正三棱锥中,分别是,的中点,若,则三棱锥的外接球的表面积为( )A. 4B. 6C. 8D. 12【答案】B【解析】【分析】由正三棱锥的性质、线面垂直的判定定理证明侧棱PA,PB,PC两两垂直,从而得到正三棱锥的外接球也是以为棱长的正方体的外接球,利用正方体的体对角线是外接球的直径,求出半径,进而求得球的表面积,得到结果.【详解】因为E,F分别是AC,PC的中点,则,因为是正三棱锥,所以(对棱垂直),所以,又EFBF,而,所以面,
13、所以面,所以,以为从同一点P出发的正方体三条棱,将此三棱锥补成正方体,则它们有相同的外接球,正方体的体对角线就是外接球的直径,又,所以,所以,故外接球的半径为,所求表面积,故选B.【点睛】该题考查的是有关几何体的外接球的问题,涉及到的知识点有补体以及正方体的外接球的表面积,属于简单题目.(甘肃、青海、宁夏2019届高三3月联考数学(理)试题)7.汉朝时,张衡得出圆周率的平方除以16等于如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,俯视图中的曲线为圆,利用张衡的结论可得该几何体的体积为A. 32B. 40C. D. 【答案】C【解析】【分析】将三视图还原,即可求组合体体积【详
14、解】将三视图还原成如图几何体:半个圆柱和半个圆锥的组合体,底面半径为2,高为4,则体积为,利用张衡的结论可得故选:C【点睛】本题考查三视图,正确还原,熟记圆柱圆锥的体积是关键,是基础题(安徽省安庆市2019届高三模拟考试(二模)数学文试题)5.如图,正三棱柱的侧棱长为,底面边长为,一只蚂蚁从点出发沿每个侧面爬到,路线为,则蚂蚁爬行的最短路程是()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】画出棱柱的侧面展开图,由图可得最短距离为对角线的长,利用勾股定理即可求.【详解】正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形,矩形的长为,宽为,则其对角线的长为最短程. 因此蚂蚁爬行的最短路程为. 故选:A.
15、【点睛】本题考查利用侧面展开图求最短路程,掌握把空间图形展开转化为平面图形的解决方法,是基础题(安徽省安庆市2019届高三模拟考试(二模)数学文试题)11.如图是某个几何体的三视图,根据图中数据(单位:)求得该几何体的表面积是()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三视图可知该几何体是一个长方体以一个顶点挖去一个八分之一的球体,利用表面积公式计算即可得到答案.【详解】由三视图可以看出,该几何体是一个长方体以一个顶点挖去一个半径为3的八分之一的球体.则几何体的表面积为故选:A.【点睛】解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图.(安徽省蚌埠市2019
16、届高三第一次教学质量检查考试数学(文)试题)11.某三棱锥的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,三棱锥表面上的点在俯视图上的对应点为,三棱锥表面上的点在左视图上的对应点为,则线段的长度的最大值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】画出几何体的直观图,判断的位置,然后结合直观图可求线段的长度的最大值【详解】由三视图可知,该三棱锥的底面是直角三角形,一条侧棱与底面垂直(平面),为几何体的直观图如图,在上,重合,当与重合时,线段的长度的最大值为故选D【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力,属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型,
17、也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键,不但要注意三视图的三要素“高平齐,长对正,宽相等”,还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.(广东省潮州市2019届高三上学期期末教学质量检测数学(文)试题)9.某几何体的三视图如图所示,若图中,则该几何体的体积为A. 2B. 1C. 4D. 6【答案】A【解析】【分析】根据三视图知几何体为四棱锥,且侧棱垂直于底面,由图中数据可求该几何体体积【详解】根据三视图知该几何体为四棱锥,且侧棱底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,画出直观图,如图所示;由图中数据,计算几何体的体积为:故选:A【点睛】解答此类题目的关键
18、是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图.(广东省东莞市2019届高三第二学期第一次统考模拟考试文科数学试题)16.圆锥底面半径为1,高为,点P是底面圆周上一点,则一动点从点P出发,绕圆锥侧面一圈之后回到点P,则绕行的最短距离是_【答案】【解析】【分析】把圆锥侧面展开成一个扇形,则对应的弧长是底面的周长,对应的弦是最短距离,即CP的长是蚂蚁爬行的最短路程,求出CD长,根据垂径定理求出PC=2CD,即可得出答案【详解】把圆锥侧面展开成一个扇形,则对应的弧长是底面的周长,对应的弦是最短距离,即CP的长是蚂蚁爬行的最短路程,过A作ADPC于D,弧PC的长是21=2,则侧面展开图的圆心角
19、是,DAC=,AC=3,所以.即蚂蚁爬行的最短路程是.故答案为:.【点睛】考查了平面展开最短路径问题,圆锥的侧面展开图是一个扇形,此扇形的弧长等于圆锥底面周长,扇形的半径等于圆锥的母线长本题就是把圆锥的侧面展开成扇形,“化曲面为平面”,用勾股定理解决(广东省东莞市2019届高三第二学期第一次统考模拟考试文科数学试题)10.三棱锥中,平面ABC,的面积为2,则三棱锥的外接球体积的最小值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设,由的面积为2,得,进而得到外接圆的半径和到平面的距离为,在利用球的性质,得到球的半径,即可求解.【详解】如图所示,设,由的面积为2,得,因为,外接圆的半径,因
20、为平面,且,所以到平面的距离为,设球的半径为R,则,当且仅当时等号成立,所以三棱锥的外接球的体积的最小值为,故选D.【点睛】本题主要考查了有关球与棱锥的组合体问题,以及球的性质的应用和球的体积公式,其中解答中正确认识组合体的结构特征,合理应用球的性质求解是解答的关键,着重考查了数形结合思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.(广西梧州市、桂林市、贵港市等2019届高三(上)期末数学试题(文科)16.设为一个圆柱上底面的中心,A为该圆柱下底面圆周上一点,这两个底面圆周上的每个点都在球O的表面上若两个底面的面积之和为,与底面所成角为,则球O的表面积为_【答案】【解析】【分析】设球的半径为,圆柱下底
21、面半径为,为一个圆柱下底面的中心,根据圆柱的几何特征,可得,解出半径,则球的表面积可求【详解】解:设球的半径为,圆柱上下底面半径为,为一个圆柱下底面的中心,由题意知得,与底面所成角为,在 中,根据圆柱的几何特征,即 .故该球的表面积,故答案为:【点睛】本题考查圆柱外接球的表面积,根据已知求出球的半径是解答该题的关键,是基础题(广西梧州市、桂林市、贵港市等2019届高三(上)期末数学试题(文科)5.如图所示的是欧阳修的卖油翁中讲述的一个有趣的故事,现模仿铜钱制作一个半径为2cm的圆形铜片,中间有边长为1cm的正方形孔若随机向铜片上滴一滴水水滴的大小忽略不计,则水滴正好落人孔中的概率是A. B.
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