2020版人教A版高中数学必修一导练课件:1.3.1 第二课时 函数的最大(小)值 .ppt
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1、第二课时 函数的最大(小)值,目标导航,新知导学素养养成,1.最大值 (1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足: 对于任意的xI,都有f(x) M; 存在x0I,使得 . 那么,称M是函数y=f(x)的最大值. (2)几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象最 点的 坐标.,思考1:若函数f(x)M,则M一定是函数的最大值吗? 答案:不一定,只有定义域内存在一点x0,使f(x0)=M时,M才是函数的最大值,否则不是.,f(x0)=M,高,纵,2.最小值 (1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足; 对于任意的xI,都有f(x) M; 存
2、在x0I,使得 . 那么,称M是函数y=f(x)的最小值. (2)几何意义:函数y=f(x)的最小值是图象最 点的 坐标.,思考2:已知函数y=f(x)在定义域a,b上单调,如何求函数的最值? 答案:如果函数y=f(x)在定义域a,b上单调递增,则 f(x)max=f(b),f(x)min=f(a);如果函数y=f(x)在定义域a,b上单调递减,则f(x)max=f(a),f(x)min=f(b).,f(x0)=M,低,纵,思考3:函数的最大(小)值与函数值域有什么关系?,答案:(1)函数的最值和值域反映的是函数的整体性质,针对的是整个定义域. (2)函数的值域一定存在,而函数的最大(小)值不
3、一定存在. (3)若函数的最值存在,则一定是值域中的元素.,名师点津,关于函数最值的说明 (1)最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素,如函数y=x2(xR)的最小值是0,有f(0)=0. (2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式,即对于定义域内的全部元素,都有f(x)M(f(x)M)成立,也就是说,函数y=f(x)的图象不能位于直线y=M的上(下)方. (3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等号成立,也就是说y=f(x)的图象与直线y=M至少有一个交点.,课堂探究素养提升,(2)求函数f(x)在1,4上的最值.,方法技巧
4、,利用函数单调性求最值的步骤:确定函数的单调性;借助最值与单调性的关系写出函数的最值.,(2)求f(x)在区间2,5上的最值.,求函数f(x)在3,5上的值域.,对于中的函数在区间A上的值域是4,5,求区间长度最大的A(注:区间长度=区间的右端点-区间的左端点); 若中的函数的定义域是2,+),解不等式f(a2-a)f(2a+4).,解:作出函数f(x)的图象(如图). 由图象可知,当x=1时,f(x)取最大值为f(1)=1. 当x=0时,f(x)取最小值f(0)=0, 故f(x)的最大值为1,最小值为0.,方法技巧,(1)分段函数的最大(小)值是各段函数在其定义域上的最大(小)值中较大(小)
5、的一个. (2)分段函数的最值问题,若函数在各段上均为单调函数,可根据函数单调性确定最值.若函数在各段上不具有单调性,可借助函数图象求最值.,即时训练2-1:已知函数f(x)=|x|(x+1),试画出函数 f(x)的图象,并根据图象解决下列两个问题.,(1)写出函数f(x)的单调区间;,解:因为y=-x2+4x-1=-(x-2)2+3(x0)且y=x-1(x0), 所以函数图象如图所示, 因此函数值域为y|y3.,题型三 二次函数的最值 例3 已知f(x)=x2-4x+3,求函数f(x)在下列区间上的值域. (1)-1,1;,解:因为f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1, 所以函数f(x
6、)在(-,2上是减函数, 在2,+)上是增函数. (1)因为x-1,1, 所以f(x)在-1,1上是减函数, 又f(-1)=8,f(1)=0, 所以函数f(x)在-1,1上的值域为0,8.,(2)-2,3;,解:(2)因为x-2,3,且f(x)的对称轴方程是x=2, 所以当x-2,2时,函数f(x)是减函数, 此时函数的值域为y|f(2)yf(-2), 即y|-1y15. 当x2,3时,函数f(x)是增函数, 此时函数的值域为y|f(2)yf(3), 即y|-1y0. 所以x-2,3时,函数的值域为y|-1y15.,(3)0,a.,解:(3)因为f(x)的对称轴方程是x=2, 所以当a2时,函
7、数f(x)在0,a上是减函数, 此时函数的值域为y|f(a)yf(0), 即a2-4a+3,3, 当24时,函数在x=2处取得最小值,最大值为f(a), 故函数的值域为-1,a2-4a+3.,一题多变:(1)求f(x)=x2-4x+3在-2,7和3,7上的值域;,解:(1)由本例题(2)的解答知,x-2,2时,函数f(x)是减函数,当x2,7时,函数f(x)是增函数,且f(-2)=15,f(2)=-1,f(7)=24, 所以x-2,7时,函数的值域为-1,24. 又因为x3,7,所以f(x)在3,7上是增函数, 因为f(3)=0,f(7)=24, 所以函数的值域为0,24. 故当x-2,7时,
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