2020版人教A版高中数学必修四导练课件:2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 .ppt
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1、2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义,目标导航,新知导学,课堂探究,1.平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,则把数量 叫做a与b的 (或 ),记作 ,即 . 规定零向量与任一向量的数量积为 .,|a|b|cos ,新知导学素养养成,数量积,内积,ab,ab=|a|b|cos ,0,思考1: 向量的数量积与数乘向量的运算结果有何区别? 提示:向量的数量积ab是一个实数,而数乘向量a是一个向量.,2.向量的数量积的几何意义 (1)投影:|a|cos (|b|cos )叫做向量a在 方向上(b在 方向上)的投影. (2)几何意义:数量积ab等
2、于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 的乘积.,b,a,|b|cos ,思考2: 投影是向量还是数量? 提示:投影是数量而不是向量,它可正、可负、可为零.,3.向量的数量积的性质 设a与b都是非零向量,为a与b的夹角. (1)ab . (2)当a与b同向时,ab= ; 当a与b反向时,ab= .,ab=0,|a|b|,-|a|b|,|a|2,(5)|ab|a|b|. 思考3:若a,b是非零向量,则|ab|=|a|b|一定成立吗? 提示:不一定.因为ab=|a|b|cos ,所以只有|cos |=1,即a,b共线时才成立. 思考4: 若a,b,c是非零向量,且ac=bc,则a=b一定成立吗?
3、提示:不一定.由ac=bc可得c(a-b)=0a-b=0或c(a-b).,4.向量数量积的运算律 (1)ab= (交换律). (2)(a)b= = (结合律). (3)(a+b)c= (分配律). 思考5:对于向量a,b,c,等式(ab)c=a(bc)一定成立吗? 提示:不一定成立,因为若(ab)c0,则它与c共线,而a(bc)0时与a共线,而a与c不一定共线,故该等式不一定成立.,ba,(ab),a(b),ac+bc,名师点津,(1)扎实理解数量积的概念 求两个向量a,b的数量积需知道三个量,即|a|,|b|及a,b的夹角,其结果不再是向量,而是数量. 两个向量a,b的数量积记作ab,中间的
4、实心小圆点不能省略,也不能把实心小圆点用乘号()代替. (2)要灵活掌握向量数量积的性质 abab=0,既可以用来证明两向量垂直,也可以由垂直进行有关 计算.,课堂探究素养提升,题型一 向量的数量积运算 例1 已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为120, (1)求ab;(2)求a在b上的投影.,方法技巧,(1)在书写数量积时,a与b之间用实心圆点“”连接,而不能用“”连接,更不能省略不写. (2)求平面向量数量积的方法 若已知向量的模及其夹角,则直接利用公式ab=|a|b|cos . 若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影,可利用数量积的几何意义求ab.,即时训练1-1:已知a,b的
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