2019-2020学年数学北师大版选修4-5课件:2.3.2 数学归纳法的应用 .pptx
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1、3.2 数学归纳法的应用,1.利用数学归纳法证明不等式 利用数学归纳法证明不等式的两个步骤实际上是分别证明两个不等式.尤其是第二步:一方面需要我们充分利用归纳假设提供的“便利”,另一方面还需要结合比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法等其他不等式的证明方法. 2.贝努利不等式 对任何实数x-1和任何正整数n,有(1+x)n1+nx.,名师点拨 在用数学归纳法证明不等式的问题中,从“n=k”到“n=k+1”的过渡,利用归纳假设是比较困难的一步,它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样,只需拼凑出所需要的结构来,而证明不等式的第二步中,从“n=k”到“n=k+1”,只用拼凑的方法,有时也行不通,因为对
2、不等式来说,它还涉及“放缩”的问题,它可能需通过“放大”或“缩小”的过程,才能利用归纳假设,因此,我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n=k”到“n=k+1”的变化,从中找到“放缩尺度”,准确地拼凑出所需要的结构.,【做一做】 用数学归纳法证明等式1+2+3+(n+3)= (nN+),第一步验证当n=1时,左边应取的项是( ) A.1 B.1+2 C.1+2+3 D.1+2+3+4 解析:当n=1时,左边是1+2+3+4,是由1加到n+3,故选D. 答案:D,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)若nN+,且n2-1,x0,则有(1
3、+x)41+4x.( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,思维辨析,分析找准n0,看左边是多少项,从n=k到n=k+1时添了什么项,少了什么项,加上n=k时的假设.从而证明n=k+1时不等式成立.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟 利用数学归纳法证明不等式的技巧 (1)证明不等式时,由n=k到n=k+1时的推证过程与证明等式有所不同,由于不等式中的不等关系,需要我们在证明时,对原式进行“放大”或者“缩小”才能使用到n=k时的假设,因此需要认真分析,适当放缩,才能使问题简单化,这是利用数学
4、归纳法证明不等式时常用的方法之一. (2)数学归纳法的应用通常需要与其他方法联系在一起,如比较法、放缩法、配凑法、分析法和综合法等,才能完成证明过程.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,分析证明当n=k+1时不等式成立的关键是利用好n=k成立时的假设以及n=k+1时不等式的恰当变形.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟 利用数学归纳法证明数列中的不等式问题的基本策略 (1)掌握好数学归纳法证明问题的基本步骤以及数列的有关知识,这是解决这类问题的基础. (2)这类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关,有时要证明的式子是
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