【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习:圆锥曲线问题通法通解.doc
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1、解圆锥曲线问题常用方法【学习要点】 解圆锥曲线问题常用以下方法:1、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一,常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题,在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性,尤其是将某些代数式子利用其结构特征,想象为某些图形的几何意义而构图,用图形的性质来说明代数性质。 如“2x+y”,令2x+y=b,则b表示斜率为-2的直线在y轴上的截距;如“x2+y2”,令,则d表示点P(x,y)到原点的距离;又如“”,令=k,则k表示点P(x、y)与点A(-2,3)这两点连线的斜率2、参数法(1)点参数利用点在某曲线上设点(常设“主动点”),以此点为参数,依
2、次求出其他相关量,再列式求解。如x轴上一动点P,常设P(t,0);直线x-2y+1=0上一动点P。除设P(x1,y1)外,也可直接设P(2y,-1,y1)(2)斜率为参数 当直线过某一定点P(x0,y0)时,常设此直线为y-y0=k(x-x0),即以k为参数,再按命题要求依次列式求解等。(3)角参数当研究有关转动的问题时,常设某一个角为参数,尤其是圆与椭圆上的动点问题。3、代入法这里所讲的“代入法”,主要是指条件的不同顺序的代入方法,如对于命题:“已知条件P1,P2求(或求证)目标Q”,方法1是将条件P1代入条件P2,方法2可将条件P2代入条件P1,方法3可将目标Q以待定的形式进行假设,代入P
3、1,P2,这就是待定法。不同的代入方法常会影响解题的难易程度,因此要学会分析,选择简易的代入法。【典型例题】例1:已知P(a,b)是直线x+2y-1=0上任一点,求S=的最小值。分析:由此根式结构联想到距离公式,解:S=设Q(-2,3),则S=|PQ|,它的最小值即Q到此直线的距离Smin点评:此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题(注:可令根式内为t消元后,它是一个一元二次函数)例2:已知点P(x,y)是圆x2+y2-6x-4y+12=0上一动点,求的最值。解:设O(0,0),则表示直线OP的斜率,由图可知,当直线OP与圆相切时,取得最值,设最值为k,则切线:y=kx,即kx-y
4、=0圆(x-3)2+(y-2)2=1,由圆心(3,2)到直线kx-y=0的距离为1得,例3:直线l:ax+y+2=0平分双曲线的斜率为1的弦,求a的取值范围.分析:由题意,直线l恒过定点P(0,-2),平分弦即过弦中点,可先求出弦中点的轨迹,再求轨迹上的点M与点P的连线的斜率即-a的范围。解:设A(x1,y1),B(x2,y2)是双曲线上的点,且AB的斜率为1,AB的中点为M(x0,y0)则: -得即M(X0,y0)在直线9x-16y=0上。由 9x-16y=0 得C,D 点M的轨迹方程为9x-16y=0(x)kPD=由图知,当动直线l的斜率k时,l过斜率为1的弦AB的中点M,而k=-aa的取
5、值范围为:点评:此题是利用代数运算与几何特征相结合的方法而解得的,由图得知,弦AB中点轨迹并不是一条直线(9x-16y=0),而是这条直线上的两条射线(无端点)。再利用图形中的特殊点(射线的端点C、D)的属性(斜率)说明所求变量a的取值范围。例4:过y2=x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点。求证:直线BC的斜率是定值。分析:(1)点A为定点,点B、C为动点,因直线AB、AC的倾斜角互补,所以kAB与kAC相反,故可用“k参数”法,设AB的斜率为k,写出直线AB的方程,将AB的方程与抛物线方程联立,因A为已知交点,则方程有一根已知故用韦达定理容易解出点B坐标
6、,同理可得点C坐标,再求BC斜率。(2)因点B、C在抛物线上移动,也可用“点参数”法,设B(x1,y1),C(x2,y2),因x1=y12,x2=y22,即可设B(y12,y1),C(y22,y2)。再考虑kAB=-kAC得参数y1,y2的关系。解法1:设AB的斜率为k,则AC的斜率为-k AB:y-2=k(x-4),与y2=x联立得: y-2=k(y2-4),即ky2-y-4k+2=0 y=2是此方程的一解, 2yB= xB=yB2= B kAC=-k,以-k代替k代入B点坐标得C kBC=为定值解法2:设B(y12,y1),C(y22,y2),则 kBC= kAB= 由题意,kAB=-kA
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