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1、九年级证明复习 一、知识梳理 第一章证明 (二) 等腰三角形的“三线合一”:顶角平分线、互相重合。 有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。 如果知道一个三角形为直角三角形首先要想的定理有: 勾股定理: 222 abc(注意区分斜边与直角边) 在直角三角形中,如有一个内角等于30o,那么它所对的直角边等于 在直角三角形中,斜边上的中线等于 垂直平分线是垂直于一条线段并且平分这条线段的直线。 线段垂直平分线上的点到这距离相等。 线 段 垂 直 平 分 线 逆 定 理 : 到 一 条 线 段 两 端 点 距 离 相 等 的 点 , 在 这 条 线 段 的。 三角形的三边的垂直平分线交于一点,并
2、且这个点到三个顶点的距离相等。(如图 1 所示, AO=BO=CO ) 角平分线上的点到距离相等。 角平分线逆定理:在角内部的,如果一点到角两边的距离相等,则它在该角的平分线上。 三角形三条角平分线交于一点,并且交点到距离相等 . (如图 2 所示, OD=OE=OF) 第三章证明(三) 平行四边形的判别方法:1. 的四边形是平行四边形。 2. 的四边形是平行四边形。 3. 的四边形是平行四边形。 4. 的四边形是平行四边形。 菱形的性质:具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相, 每一条对角线平分一组对角。菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是对称轴。 菱形的判别方法:1 的
3、平行四边形是菱形。 2. 的平行四边形是菱形。 3 的四边形是菱形。 矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 矩形的性质: 具有平行四边形的性质,且对角线, 四个角都是。 (矩形是轴对称图形,有两条对称轴) A C B O 图 1 图 2 O A C B D E F 矩形的判定:1 的平行四边形叫矩形(根据定义 )。 2. 的平行四边形是矩形。 3. 的四边形是矩形。 。 正方形的性质:正方形具有平行四边形、矩形、 菱形的一切性质。 (正方形是轴对称图形, 有两条对称轴) 正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图 3 所示 ): 梯形定义:一组对边平行且
4、另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 等腰梯形的性质:等腰梯形同一底上的两个内角相等,对角线。 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。 三角形的中位线于第三边,并且等于第三边的。 夹在两条平行线间的平行线段相等。 一选一选 1、给出下列命题:平行四边形的对角线互相平分;对角线互相平分的四边形是平行四 边形;菱形的对角线互相垂直;对角线互相垂直的四边形是菱形。其中真命题的个数为 ()A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个 2、顺次连接梯形四边中点得到的四边形是矩形,则梯形应满足() A.等腰梯形B 直角梯形C 对角线互相垂直D 对角线相等且垂直 3、 用两个全等的直角三角形拼成下列图形:平行四
5、边形; 矩形; 菱形; 正方形 等腰三角形等边三角形,其中可以拼成的图形是() A. B. C. D. 4、如上图,已知,在ABC 中, ABC=9 0, 点 O为 ABC 的三条角平分线的交点,OD BC,OE AC, OF AB, 点 D、E、F 是垂足,且AB=8, AC=10 ,则点 O 到三边 AB 、AC 和 BC 的距离分别是() A、2 , 2,2 B、 3,3,3 C、 4,4,4 D2,3,5 5、.下列图形:线段、正三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、直角梯形, 其中既是中心对称图形,又是轴对称图形的共有 () A 、3 个 B、4 个 C、5 个D、6 个
6、 平行四边形 菱形 矩形 正方形 图 3 P O FE D C B A 6、将一张矩形纸片ABCD 如图折起,使顶点C 落在 F 处,其 中 AB=4 ,若 FED=30,则折痕ED的长为() A、4 B 43 C、 8 D、 4.5 7、如图,在矩形ABCD 中, AB=3 , AD=4 ,P是 AD上的动点, PEAC于 E,PF BD于 F,则 PE+PF的值为() A. 5 13 B. 2 5 C.2 D. 5 12 二、填一填(每题3 分,共 36 分) 8、某等腰三角形两边长分别为3cm 和 6cm,则它的周长是 9、 “等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是_ 10、三角形的三条中
7、位线的长分别是3,4,5,则这个三角形的周长是_ 11、菱形的两条对角线长分别为8cm, 6cm, 则菱形的面积是_ 12、 已知等腰梯形的上、 下底分别为4cm、 6cm , 且其对角线互相垂直, 那么它的面积为 . 13、 正方形 ABCD 中,两对角线AC,BD交于点 O ,BAC平分线交BD于 E, 若正方形ABCD 周长为 16cm ,则 DE= 14、如图 ,等腰ABC 中,一腰 AB 的垂直平分线交AC 于 E, 已知 AB=10cm, BCE 周长为 17cm,那么底边BC=_ 15、如图:矩形ABCD 的两条对角线相较于点O, AOB=6 0, AB=2 , 则矩形的对角线A
8、C的长为 _ 16、如图是2002 年 8 月在北京召开的第24 届国际数学家大会的会标, 它是由 4 个相同的直角三角形拼和而成。若图中大小正方形的面积分别 为 30cm 2 和 4cm 2,则直角三角形的两条直角边的和是 cm. 17、如图边长为1 的两个正方形互相重合,按住其中一个不动,将另 一个绕顶点A 顺时针旋转45,则这两个正方形重叠部分的面积 是 三、解答题(共54 分) 1、 已知,如图,ABC中, A = 90 0 ,AB =AC,D 是 BC边上的中点, E、F分别是 AB 、AC上的点,且BE = AF,求证: ED FD A D C B C D B E D A B C
9、E F 2、如图所示, 在 RtABC 中,ABC=9 0,将 Rt ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转60 得到 DEC,点 E在 AC上, 再将 RtABC 沿着 AB 所在的直线翻转180得到 ABF.且使 C、 B、F 三点在一条直线上,连接AD 。 (1)求证:四边形AFCD是菱形; (2)连接 BE并延长交AD于 G,连接 CG,请问:四边形ABCG 是什么特殊平行四边形?为 什么? 3、如图,在ABC 中, ACB 90, BC 的垂直平分线DE 交 BC 于 D,交 AB 于 E,F 在 DE 上,并且 AFCE (1)求证:四边形ACEF 是平行四边形; (2)当 B 的大小满足什么条件时,四边形ACEF 是菱形?请回答并证明你的结论; (3)四边形ACEF 有可能是正方形吗?为什么? 4 如图,在 ABC 中, D 是 BC 边上的一点, E 是 AD 的中点,过A 点作 BC 的平行线交 CE 的延长线于点F,且 AF=BD ,连结 BF。 (1)求证: BD=CD ; (2)如果 AB=AC ,试判断四边形AFBD 的形状,并证明你的结论。 A B F D C E
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