《三角函数模型的简单应用》的教学设计剖析.pdf
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1、1.6 三角函数模型的简单应用教学设计 一、教学分析 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型, 可以用来研究很多问题, 在刻 画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用. 三角函数模型的简单应用的设置目的, 在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学 习. 本节教材通过4 个例题 ,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用, 在素材的选 择上注意了广泛性、真实性和新颖性, 同时又关注到三角函数性质( 特别是周期性 ) 的应用 . 通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题, 培养他们综合应用数学和其他学科 的知识解决问题的能力. 培养学生的建模、分析问题、 数形结合
2、、 抽象概括等能力. 由于实际 问题常常涉及一些复杂数据, 因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据, 包括建立有关 数据的散点图 , 根据散点图进行函数拟合等. 二、教学目标 1、知识与技能: 掌握三角函数模型应用基本步骤:(1) 根据图象建立解析式 ; (2)根据解析式作出图象 ; (3) 将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型. 2、过程与方法: 选择合理三角函数模型解决实际问题, 注意在复杂的背景中抽取基本的数学关系, 还要调动相 关学科知识来帮助理解问题。 切身感受数学建模的全过程,体验数学在解决实际问题中的价值 和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。 3、情态与价值: 培养
3、学生数学应用意识 ; 提高学生利用信息技术处理一些实际计算的能力。 三、教学重点与难点 教学重点 : 分析、整理、利用信息 , 从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模 型, 用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题. 教学难点 : 将某些实际问题抽象为三角函数的模型, 并调动相关学科的知识来解决问题. 四、教学过程: 三角函数模型的简单应用 一、导入新课 思路1.( 问题导入 ) 既然大到宇宙天体的运动, 小到质点的运动以及现实世界中具有周 期性变化的现象无处不在, 那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题?它到 底能发挥哪些作用呢?由此展开新课. 思路2. 我们已经
4、学习了三角函数的概念、图象与性质, 特别研究了三角函数的周期性. 在现实生活中, 如果某种变化着的现象具有周期性, 那么是否可以借助三角函数来描述呢? 回忆必修1 第三章第二节 “函数模型及其应用”,面临一个实际问题, 应当如何选择恰当的函 数模型来刻画它呢?以下通过几个具体例子, 来研究这种三角函数模型的简单应用. 二、推进新课、新知探究、提出问题 回忆从前所学, 指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的 哪些规律的 ? 数学模型是什么, 建立数学模型的方法是什么? 上述的数学模型是怎样建立的? 怎样处理搜集到的数据? 活动 : 师生互动 , 唤起回忆 , 充分复习前面学
5、习过的建立数学模型的方法与过程. 对课前 已经做好复习的学生给予表扬, 并鼓励他们类比以前所学知识方法, 继续探究新的数学模型. 对还没有进入状态的学生, 教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法. 在教师的引导下, 学 生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是: 收集数据画散点图选择函数模型求 解函数模型检验用函数模型解释实际问题. 这点很重要 , 学生只要有了这个认知基础, 本节的简单应用便可迎刃而解. 新课标下的教 学要求 , 不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题, 而是教师引领学生逐步登高, 在合作 探究中自己解决问题, 探求新知 . 讨论结果 :描述现实世界中不同增长规律的函数模
6、型. 简单地说 , 数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括, 再从数学角度来反映或近 似地反映实际问题时, 所得出的关于实际问题的数学描述. 数学模型的方法, 是把实际问题加 以抽象概括 , 建立相应的数学模型, 利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法. 解决问题的一般程序是: 1审题 : 逐字逐句的阅读题意, 审清楚题目条件、要求、理解数学关系; 2建模 : 分析题目变化趋势, 选择适当函数模型; 3求解 : 对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论; 4还原 : 把数学结论还原为实际问题的解答. 画出散点图,分析它的变化趋势, 确定合适的函数模型. 三、应用示例 例 1 如图 1,
7、某地一天从614 时的温度变化曲线近似满足函数y=sin( x+ )+b. 图 1 (1) 求这一天的最大温差; (2) 写出这段曲线的函数解析式. 活动 : 这道例题是2002 年全国卷的一道高考题, 探究时教师与学生一起讨论. 本例是研 究温度随时间呈周期性变化的问题. 教师可引导学生思考, 本例给出模型了吗?给出的模型 函数是什么?要解决的问题是什么?怎样解决?然后完全放给学生自己讨论解决. 题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型. 其中第 (1) 小题实际上就是求函数图 象的解析式 , 然后再求函数的最值差. 教师应引导学生观察思考: “求这一天的最大温差”实 际指的是 “求 6
8、是到 14 时这段时间的最大温差”, 可根据前面所学的三角函数图象直接写出 而不必再求解析式. 让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用. 第 (2) 小题只 要用待定系数法求出解析式中的未知参数, 即可确定其解析式. 其中求 是利用半周期 (14-6),通过建立方程得解. 解:(1) 由图可知 , 这段时间的最大温差是20 . (2) 从图中可以看出, 从 614 时的图象是函数y=Asin( x+)+b 的半个周期的图象, A= 2 1 (30-10)=10,b= 2 1 (30+10)=20. 2 1 2 =14-6, = 8 ?. 将 x=6,y=10 代入上式 ,解得 =
9、4 3 . 综上 ,所求解析式为y=10sin( 8 ?x+ 4 3 )+20,x 6,14. 点评 :本例中所给出的一段图象实际上只取614 即可 , 这恰好是半个周期, 提醒学生注 意抓关键 . 本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况, 因此应当特 别注意自变量的变化范围, 这点往往被学生忽略掉. (互动探究)图5 表示的是电流I 与时间 t 的函数关系 图 5 I=Asin( x+)( 0,| | 2 ) 在一个周期内的图象. (1) 根据图象写出I=Asin( x+)的解析式 ; (2) 为了使 I=Asin( x+) 中的 t 在任意一段 100 1 s 的时间内
10、电流I 能同时取得最大值 和最小值 ,那么正整数 的最小值为多少? 解:(1) 由图知 A=300,第一个零点为 ( 300 1 ,0),第二个零点为( 150 1 ,0), ( 300 1 )+ =0, 150 1 +=. 解得 =100, = 3 , I=300sin(100t+ 3 ). (2) 依题意有T 100 1 , 即 2 100 1 , 200 . 故min=629. 例 2 做出函数y=|sinx|的图象并观察其周期 例 3 如图 2, 设地球表面某地正午太阳高度角为, 为此时太阳直射纬度, 为该地的纬度 值, 那么这三个量之间的关系是=90-| - |. 当地夏半年 取正值
11、 , 冬半年 取负值 . 如果在北京地区(纬度数约为北纬40) 的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼, 要使新楼 一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡, 两楼的距离不应小于多少? 活动 : 如图 2 本例所用地理知识、物理知识较多, 综合性比较强 , 需调动相关学科的知 识来帮助理解问题, 这是本节的一个难点. 在探讨时要让学生充分熟悉实际背景, 理解各个量 的含义以及它们之间的数量关系. 首先由题意要知道太阳高度角的定义: 设地球表面某地纬度值为, 正午太阳高度角为 , 此时太阳直射纬度为, 那么这三个量之间的关系是=90-| - |. 当地夏半年 取 正值 , 冬半年 取负值 . 根据地理知识
12、, 能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带, 图形如图3, 由画 图易知 太阳高度角 、楼高 h0与此时楼房在地面的投影长h 之间有如下关系: h 0=htan . 由地理知识知, 在北京地区 , 太阳直射北回归线时物体的影子最短, 直射南回归线时物体 的影子最长 . 因此 , 为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡, 应当考虑太阳直射南回归线时 的情况 . 图 3 解: 如图 3,A、B、 C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影 点. 要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡, 应取太阳直射南回归线的情况考虑, 此时的太阳直射纬度2326. 依题意两楼的间距应
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