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1、不定积分解题方法总结 摘要:在微分学中,不定积分是定积分、二重积分等的基础,学好不定积分十分 重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文 论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。 关键词: 不定积分;总结;解题方法 不定积分看似形式多样, 变幻莫测, 但并不是毫无解题规律可言。 本文所总 结的是一般规律,并非所有相似题型都适用,具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。(这就不多说了 ) 2.第一类换元法。(凑微分) 设 f()具有原函数 F()。则 CxFxdxfdxxxf)()()()( )( 其中)(x可微。 用凑微分法求解不定积分时,首先要认
2、真观察被积函数,寻找导数项内容, 同时为下一步积分做准备。 当实在看不清楚被积函数特点时,不妨从被积函数中 拿出部分算式求导、尝试,或许从中可以得到某种启迪。如例1、例 2: 例 1:dx xx xx ) 1( ln)1ln( 【解】 )1( 11 1 1 )ln)1(ln( xxxx xx Cxxxxdxxdx xx xx2 )ln)1(ln( 2 1 )ln) 1(ln()ln)1(ln( )1( ln)1ln( 例 2:dx xx x 2 )ln( ln1 【解】xxxln1)ln( C xxxx xdx dx xx x ln 1 )ln( ln )1( ln1 22 3. 第二类换元法
3、: 设)(tx是单调、可导的函数,并且)( )(.0)( ttft又设具有原函数, 则有换元公式 dtttfdxf)( )(x)( 第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会 用。主要有以下几种: achtxtaxtaxax ashtxtaxtaxax taxtaxxa ;: ;: ;: cscsec)3( cottan)2( cossin)1 ( 22 22 22 也奏效。,有时倒代换当被积函数含有 : : t xcbxaxx t dcx bax dcx bax tbaxbax m nn nn 1 )6( )5( )4( 2 (7)当根号内出现单项式或多项式时一般用
4、t 代去根号。 CxxxCttt tdttttdttxtdxx sin2cos2sin2cos2 )coscos( 2sin2sin 但当根号内出现高次幂时可能保留根号, cx dt t dt t t dt t t t dt t t t t x xx dx 6 6 12 12 5 12 6 2 12 12 arcsin 6 1 1 1 6 1 11 1 1 1 1 11 1 (7)当根号内出现单项式或多项式时一般用t代去根号。 CxxxCttt tdttttdttxtdxx sin2cos2sin2cos2 )coscos( 2sin2sin 但当根号内出现高次幂时可能保留根号, cx dt
5、t dt t t dt t t t dt t t t t x xx dx 6 6 12 12 5 12 6 2 12 12 arcsin 6 1 1 1 6 1 11 1 1 1 1 11 1 4. 分部积分法 . 公式:dd 分部积分法采用迂回的技巧,规避难点,挑容易积分的部分先做,最终完成 不定积分。具体选取、时,通常基于以下两点考虑: (1)降低多项式部分的系数 (2)简化被积函数的类型 举两个例子吧 ! 例 3:dx x xx 2 3 1 arccos 【解】观察被积函数,选取变换xtarccos ,则 tdttdttt t t dx x xx 3 3 2 3 cos)sin( sin
6、 cos 1 arccos Cxxxxx Cttttt tdtttt dtttttt tttdtdtt arccos1)2( 3 1 3 2 9 1 cos 9 1 cos 3 2 sinsin 3 1 cos) 1sin 3 1 (sinsin 3 1 )sinsin 3 1 (sinsin 3 1 )sinsin 3 1 (sin)1(sin 223 33 23 33 32 例 4:xdx 2 arcsin 【解】 dx x xxxxxdx 2 22 1 1 arcsin2sinarcsin Cxxxxx dx x xxxxx xxdxx 2arcsin12arcsin 1 2 1arcs
7、in12arcsin 1arcsin2arcsin 2 2 22 2 上面的例 3,降低了多项式系数;例4,简化了被积函数的类型。 有时,分部积分会产生循环,最终也可求得不定积分。 在dd中,、的选取有下面简单的规律: 选取的函数不能改变。,会出现循环,注意 , , , )3( sin,cos)3( )(arcsin,arctan,ln)2( cos,sin,)() 1( xxe xPxxx axaxexP ax m ax m 将以上规律化成一个图就是: 但是,当xxarcsinln,时,是无法求解的。 对于( 3)情况,有两个通用公式: Cbxbbxa ba e dxbxeI Cbxbbxa
8、 ba e dxbxeI ax ax ax ax )sincos(cos )cossin(sin 22 2 22 1 (分部积分法用处多多 在本册杂志的涉及lnx 的不定积分中,常可以看到 分部积分) 5 不定积分中三角函数的处理 1.分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。 被积函数dx xx 22 cossin 1 上下同乘xsin变形为 xx xxd dx xxcos1cos1 coscos cossin 1 2 令xucos,则为 (lnx arcsinx)Pm(x ) (ax sinx) c xx c x x x du uu u uu udu 2 sec 4 1 2 tanln 2
9、 1 cos1 cos1 ln 4 1 cos12 1 ) 14 1 14 1 12 1 ( 11 22 22 2.只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系,注意1cossin 22 xx的使 用。 c x xx x dx xx dx xx xx dx xx xx 82 tanln 22 1 cossin 2 1 )4/sin(2 cossin 2 1 cossin 1cossin 2 1 cossin cossin 2 三角函数之间都存在着转换关系。被积函数的形式越简单可能题目会越难, 适当的使用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。 3. 函数的降次 形如的cossinxdxx nm
10、 积分( m,n 为非负整数) 当 m 为奇数时,可令xucos,于是 duuuxxdxdxxx n m nmnm 2 1 21 1coscossincossin, 转化为多项式的积分 当 n 为奇数时,可令 xusin ,于是 duuuxxdxxdxx u mnmnm 2 1 21 1sincossincossin, 同样转化为多项式的积分。 当 m,n 均为偶数时,可反复利用下列三角公式: , 2 2c o s1 c o s , 2 2c o s1 s i n ,2s i n 2 1 c o ss i n 2 2 x x x x xxx 不断降低被积函数的幂次,直至化为前两种情形之一为止。
11、 形如xdx n tan和xdx n cot的积分( n 为正整数) 令xdxutan,则uxarctan, 2 1u du dx ,从而 , 1 tan 2 du u u xdx n n 已转化成有理函数的积分。 类似地, xdx n cot可通过代换xucot转为成有理函数的积分。 形如xdx n sec和xdx m csc的积分( n 为正整数) 当 n 为偶数时,若令xutan,则 2 1 ,arctan u du dxux ,于是 duudu u udxxxdx nnn n 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1tan1sec 已转化成多项式的积分。 类似地,xdx n cs
12、c可通过代换xucot转化成有理函数的积分。 当 n 为奇数时,利用分部积分法来求即可。 4.当有 x 与三角函数相乘或除时一般使用分部积分法。 cxxxx xdxxxxxxdx xdxxxdx x xxdxx 2cos 8 1 2sin 4 1 4 1 2sin 4 1 2sin 4 1 4 1 2sin 4 1 4 1 2cos 2 1 4 1 2 2cos1 sin 2 22 22 5. 几种特殊类型函数的积分。 (1)有理函数的积分 有理函数 )( )( xQ xP 先化为多项式和真分式 )( )(* xQ xP 之和,再把 )( )(* xQ xP 分解为若干 个部分分式之和。(对各
13、部分分式的处理可能会比较复杂。出现 n n xa dx I )( 22 时,记得用递推公式: 1 21222 )1(2 32 )(1(2 n n n I na n axna x I) 1.有理真分式化为部分分式之和求解 简单的有理真分式的拆分 cxx dx x x x dx xx 4 4 3 4 1ln 4 1 ln 1 1 1 1 注意分子和分母在形式上的联系 c xx c tt dt tt tt dt xt xx dxx xx dx 3 3lnln 3 3ln 3 ln 3 11 3 1 333 77 7 77 6 7 此类题目一般还有另外一种题型: cxx dx xx x dx xx x
14、 52ln 2 1 52 22 2 1 52 1 2 22 2.注意分母(分子)有理化的使用 Cxx xx xx dx 2 3 2 3 32 12 1 32 12 1 4 1232 1232 例 5:dx xx xxx 223 246 ) 1( 24 【解】 223 2 223 46 223 246 ) 1( 24 ) 1()1( 24 xx x xx xx xx xxx 223 2 2 ) 1( 24 1xx x x x 22 224 2 224 2 223 2 2 2 ) 1( 12 ) 1( 24 ) 1( 24 )1ln( 2 1 1 xdx xx x xdx xx x dx xx x
15、 Cxdx x x C xx Cd dd ) 1( 11 1 1 ) ) 1( 11 ( ) 1( ) 1( )1( 12 2222 22 22 22 故不定积分求得。 (2)三角函数有理式的积分 万能公式: 2 tan1 2 tan1 cos 2 tan1 2 tan2 sin 2 2 2 x x x x x x 化为有理函数可用变换 2 tan )cos,(sin )cos,(sinx tdx xxQ xxP 的积分,但由于计算较烦, 应尽量避免。 对于只含有tanx(或 cotx)的分式,必化成 x x x x sin cos cos sin 或。再用待定系数 xbxa xbxaBxbx
16、aA sincos )sincos()sincos( 来做。 (注:没举例题并不代表不重要) (3)简单无理函数的积分 一般用第二类换元法中的那些变换形式。 像一些简单的,应灵活运用。如:同时出现xx1和时,可令tx 2 tan;同时 出现xx1和时,可令tx 2 sin;同时出现xxarcsin1 2和 时,可令 x=sint; 同时出现xxarccos1 2和 时,可令 x=cost 等等。 (4)善于利用 x e ,因为其求导后不变。 c xe xe c t t dt tt xet xed xexe dx xexe xe dx xex x x x x x xxxx x x 1 ln 1
17、ln 1 1 1 1 1 1 1 1 这道题目中首先会注意到 x xe ,因为其形式比较复杂。但是可以发现其求导 后为 xx xee与分母差 x e ,另外因为 x e 求导后不变,所以容易想到分子分母同 乘以 x e 。 (5)某些题正的不行倒着来 cyyydy ydyy y y yudu u u du u u uu uuddu u uu du u u uu u xdx x x tantan tansec sec tan sec 1 1 ln1 1ln 1 ln 1 1 1 ln1 sin sin sinln 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cxxxx xdxxx dx x x x
18、x xx xxdxxxxd cotsinlncot cotsinlncot sin cos sin cos sinlncot sinlncotsinlncotcotsin原式 2 这道题换元的思路比较奇特,一般我们会直接使用xusin,然而这样的 换元方法是解不出本题的。我概括此类题的方法为“正的不行倒着来”,当 xusin这类一般的换元法行不通时尝试下x u sin 1 。这种思路类似于证明 题中的反证法。 (6)注意复杂部分求导后的导数 dt ett t xtdx xxxx x t22 21 2 ln ln21ln 2ln 注意到 : t t t t t tt ett et y ett e
19、tt y ett etet y 2 2 3 3 3 2 3 32 1 21 21 2 2 2 261 321 2 3- 21 2 yyy ett t t cxxexx cttett dt ett et dt ett ett dt ett etet dt ett t x t t t t t t tt t lnln3lnln2lnln ln32ln 21 21 3 2 2 2 261 21 2 ln 3 3 2 2 3 3 3 32 2 本题把被积函数拆为三部分: 321 ,yyy, 1 y的分子为分母的导数, 2 y的值为 1, 3 y的分子为分母因式分解后的一部分。此类题目出现的次数不多,一般在竞赛 中出现。 (7) 对于)0(),( 2 adxcbxaxxR型积分,考虑acb4 2 的符号来 确定取不同的变换。 如果0,设方程0 2 cbxax两个实根为,,令 xtcbxax 2 , 可使上述积分有理化。 如果0,则方程0 2 cbxax没有实根,令 txacbxax 2 , 可使上述积分有理化。此中情况下,还可以设 cxtcbxax 2 , 至于采用哪种替换,具体问题具体分析。
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