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1、双曲线提高训练题(含详细答案) 12011 银川一中月考 与椭圆 x 2 4 y21 共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是() A. x 2 4 y 21 B.x 2 2 y 21 C.x 2 3 y 2 3 1 Dx2y 2 2 1 22011 山东省实验中学二模 如图 K491,已知点P 为双曲线 x 2 16 y 2 9 1 右支上一 点, F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,I 为 PF1F2的内心,若SIPF1SIPF 2S IF1F2成立,则 的值为 () 图 K491 A. 5 8 B.4 5 C.4 3 D. 3 4 32010 辽宁卷 设双曲线的 个焦点为 F,虚轴的 个端
2、点为B,如果直线FB 与该 双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为() A.2 B.3 C. 31 2 D. 51 2 42011 佛山一检 已知双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0,b0)与抛物线 y 28x 有一个公共的焦 点 F,且两曲线的一个交点为P,若 |PF|5,则双曲线的渐近线方程为() Ax 3y0 B. 3x y0 Cx 2y0 D 2x y0 52010 福建卷 若点 O 和点 F(2,0)分别是双曲线 x 2 a 2y 21(a0)的中心和左焦点, 点 P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP 的取值范围为() A3 2 3, ) B 3 2 3, )
3、 C. 7 4, D. 7 4, 62010 天津卷 已知双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0,b0)的一条渐近线方程是 y3x,它的 一个焦点在抛物线y224x 的准线上,则双曲线的方程为() A. x 2 36 y 2 1081 B.x 2 9 y 2 271 C. x 2 108 y 2 361 D. x 2 27 y 2 9 1 72010 课标全国卷 已知双曲线E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且AB 的中点为 N( 12, 15),则 E 的方程式为 () A. x 2 3 y 2 6 1 B.x 2 4 y 2
4、 5 1 C.x 2 6 y 2 3 1 D. x 2 5 y 2 4 1 8已知抛物线y 22px(p0)的焦点 F 为双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0,b0)的一个焦点,经过 两曲线交点的直线恰过点F,则该双曲线的离心率为() A.2 B12 C.3 D13 9点 P 在双曲线上 x 2 a 2 y 2 b 2 1(a0,b0)上, F1,F2是这条双曲线的两个焦点,F1PF2 90 ,且 F1PF2的三条边长成等差数列,则此双曲线的离心率是() A2 B3 C4 D 5 10已知双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21 左、右焦点分别为 F1、F2,过点 F2作与 x 轴垂
5、直的直线与双 曲线一个交点为P,且 PF1F2 6,则双曲线的渐近线方程为 _ 11双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1作直线交双曲线的 左支于 A,B 两点,且 |AB|m,则 ABF2的周长为 _ 122011 全国卷 已知 F1、F2分别为双曲线 C: x 2 9 y 2 271 的左、右焦点,点 AC, 点 M 的坐标为 (2,0),AM 为 F1AF2的平分线,则 |AF2|_. 132011 辽宁卷 已知点 (2,3)在双曲线 C: x 2 a 2 y 2 b 21(a0,b0)上, C 的焦距为4, 则它的离心率为_ 14
6、(10 分)2011 湖北八校一联 如图 K492,已知双曲线x 2y21 的左、右顶点分 别为 A1、A2,动直线l: ykxm 与圆 x2y21 相切,且与双曲线左、右两支的交点分别 为 P1(x1,y1),P2(x2,y2) (1)求 k 的取值范围,并求x2 x1的最小值; (2)记直线 P1A1的斜率为 k1, 直线 P2A2的斜率为k2, 那么 k1k2是定值吗?证明你的结论 图 K492 15(13 分)已知两定点F1(2,0),F2(2,0),满足条件 |PF2| |PF1|2 的点 P 的轨 迹是曲线E,直线 ykx1 与曲线 E 交于 A,B 两点如果 |AB|63,且曲线
7、E 上存在点 C,使 OA OB mOC ,求 m 的值和 ABC 的面积 S. 16 (12 分 )2011 黄石调研 已知双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0,b0)的右顶点为 A,右焦点为F, 直线 x a 2 c (ca 2b2)与 x 轴交于点 B, 且与一条渐近线交于点C,点 O 为坐标原点, 又OA 2OB ,OA OC 2,过点 F 的直线与双曲线右支交于点M、N,点 P 为点 M 关于 x 轴的对 称点 (1)求双曲线的方程; (2)证明: B、P、N 三点共线; (3)求 BMN 面积的最小值 1B解析 椭圆 x 2 4 y21 的焦点坐标是( 3, 0)设双曲线
8、方程为 x 2 a 2 y 2 b 21(a0, b0)因为点 P(2,1)在双曲线上,所以 4 a 2 1 b 21,a 2b23,解得 a22,b21,所以所求 的双曲线方程是 x 2 2 y21. 2B解析 根据 SIPF1SIPF2S IF1F2,即|PF1|PF2| |F1F2|,即 2a 2c, 即 a c 4 5. 3D解析 设 F 为左焦点,结合图形可知kFB b c,而对应与之垂直的渐近线的斜率 为 k b a,则有 b c b a 1,即 b2ac c2 a2,整理得 c2ac a20,两边都除以a2可 得 e 2e10,解得 e1 5 2 ,由于 e1,故 e1 5 2
9、. 4B解析 F(2,0) ,即 c2,设 P(x0,y0),根据抛物线的定义x025,得 x03, 代入抛物线方程得y2 024, 代入双曲线方程得 9 a 2 24 b 21, 结合 4a 2b2, 解得 a1, b 3, 故双曲线的渐近线方程是3x y0. 【能力提升】 5B解析 因为 F( 2,0)是已知双曲线的左焦点,所以a 214,即 a2 3,所以双 曲线方程为 x 2 3 y21.设点P(x0,y0),则有 x 2 0 3 y2 01(x0 3),解得y 2 0 x 2 0 3 1(x03)因 为FP (x02,y0), OP (x0,y0),所以 OP FP x0(x02)y
10、 2 0x0(x02) x 2 0 3 1 4x 2 0 3 2x0 1,此二次函数对应的抛物线的对称轴方程为x0 3 4,因为 x0 3,所以当x03时, OP FP 取得最小值 4 332 31 32 3,故 OP FP 的取值范围是 32 3, ) 6B解析 抛物线y 224x 的准线方程为 x 6,则在双曲线中有a2b2(6) 2 36,又双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21 的渐近线为 y3x, b a 3,联立解得 a 29, b 227, 所 以双曲线的方程为 x 2 9 y 2 271. 7B解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),双曲线方程为 x 2 a 2 y 2
11、 b 21.AB 过 F,N,斜率 kAB1. x 2 1 a 2 y 2 1 b 21, x 2 2 a 2 y 2 2 b 21,两式相减,得 x1x2x1x2 a 2 y1y2y1y2 b 20, 4b 2 5a2,又 a2 b 29, a2 4,b25. 8B解析 设双曲线的一个焦点坐标为(c,0),则 p 2c,即 p2c,抛物线方程为y 2 4cx,根据题意 c 2 a 2 y 2 b 21,y 24c c,消掉 y 得c 2 a 2 4c 2 b 21,即 c 2(b24a2)a2b2,即 c2(c2 5a2)a2(c2a2),即 c46a2c2a40,即 e46e210,解得
12、e 26 32 2 3 2 2,故 e12. 9D解析 不妨设 |PF1|,|PF2|,|F1F2|成等差数列,则4c 2|PF 1| 2 |PF 2| 2,由 2|PF 2| 2c|PF1|, 且|PF2|PF1| 2a, 解得 |PF1|2c4a, |PF2|2c2a, 代入 4c 2|PF 1| 2|PF 2| 2, 得 4c2(2c2a)2(2c4a)2,化简整理得c26ac5a20,解得 ca(舍去 )或者 c5a, 故 e c a5. 10y 2x解析 根据已知 |PF1| 2b 2 a 且|PF2|b 2 a ,故 2b 2 a b 2 a 2a,所以 b 2 a 22,b a
13、2. 114a2m解析 由 |AF2|AF1|2a, |BF2|BF1|2a ? |AF2|BF2| (|AF1|BF1|)4a,又|AF1| |BF1|AB|m, |AF2|BF2|4am.则 ABF2的周长为 |AF2|BF2|AB| 4a2m. 126解析 根据角平分线的性质, |AF2 |AF1 |MF2 |MF1 1 2.又 |AF1|AF26,故|AF26. 132解析 方法一:点 (2,3)在双曲线C: x 2 a 2 y 2 b 21 上,则 4 a 2 9 b 21.又由于 2c 4, 所以 a2b24.解方程组 4 a 2 9 b 21, a 2b24 得 a1 或 a4.由于 a0, x1x2 m 21 k 210, x1x2 2k 1k 20, 解得20,所以 t 21 3, SBMN 1 2|BF|y1y2| 181t 2 |3t 2 1| 6 333t 2 13t 2, 令 u13t2,u (0,1, SBMN 6 3 4u u 6 3 4 u 2 1 u 6 34 1 u 1 8 21 16, 由 u(0,1,所以 1 u1, ), 当 1 u1,即 t0 时, BMN 面积的最小值为 18.
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