圆锥曲线专题复习:椭圆部分.pdf
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1、椭圆 (一)椭圆的定义 【知识梳理】 椭圆的定义 已知 21, F F是平面上两个定点,P 是平面上的动点, 则 不表示任何曲线 的轨迹是椭圆动点 的轨迹是线段动点 12 21 2121 21 2 2 2 02 FFa PFFa FFPFFa aaPFPF 【练习突破】 1、设 P 为平面上一动点, 21, F F是平面上两个不同定点,则 “ 21 PFPF为定值 是“ P 的轨迹是以 21, FF为焦点的椭圆”的( B ) A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【变式】已知动点yxM,的轨迹方程为ayxyx 2222 11,其中 0a, 若动点
2、 M 的轨迹表示椭圆,则a的取值范围是,2; 若动点 M 的轨迹表示线段, 则a 2 ;若动点 M 的轨迹不表示任 何图形,则a的取值范围是2 ,0; 2、已知椭圆1 4 2 2 y x 的左、右焦点分别为 21,F F,P 为椭圆上一动点,如果延 长PF1到Q,使得 2 PFPQ, 那么动点Q的轨迹方程是163 2 2 yx 3、已知 12 FF,为椭圆 22 1 259 xy 的两个焦点,过 1 F的直线交椭圆于 AB,两点, 若 22 12F AF B,则 AB 8 4、 椭圆 22 1 92 xy 的焦点为 12 ,FF, 点 P在椭圆上,若 1 |4PF, 则 2 |PF 2 ; 1
3、2 F PF的大小为 0 120 .w【解析】u.c.o.m本题主要考查椭圆的定义、 焦点、 长轴、 短轴、 焦距之间的关系以及余弦定理. 属 于基础知识、基本运算的考查. 22 9,3ab, 22 927cab, 12 2 7F F, 又 112 4,26PFPFPFa, 2 2PF,(第 13 题解答图) 又由余弦定理,得 2 22 12 242 7 1 cos 2242 F PF , 12 120F PF,故应填2, 120. 5、 设 21, F F椭 圆)3(1 3 2 2 2 a y a x 的 两 个 焦 点, P 为 椭 圆 上 一 点, 已知 0 21 60PFF,则 21F
4、 PF的面积为3 6、已知 P是椭圆1 34 22 yx 上的一点, 21,F F是椭圆的两个焦点,M 为 1 PF的 中点, O 为坐标原点,若 2 3 OM, 则| 1 PF 【答案】 1 7、已知圆81: 22 yxF,定点0 , 1F, 动点 P在圆上运动, 线段FP的垂直 平分线交线段 PF 于一点 M ,则动点 M 的轨迹为( B ) A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 8、已知椭圆1 312 22 yx 的焦点为 21,F F,P 为椭圆上一点,如果线段PF1的中点 在 y 轴上,那么 1 PF 是 2 PF 的( A ) A.7 倍 B.5倍 C.4倍 D. 3倍 9、已
5、知 21, F F为椭圆1 34 22 yx 的左、右焦点,P 是椭圆上任一点,Q是平面 上任意点,设Q关于 P 的对称点为 A,Q关于 1 F的对称点为 B ,Q关于 2 F的对 称点为 C ,则ACAB 10、设 21,F F椭圆1 49 22 yx 的两个焦点, P 为椭圆上一点,已知 21, ,FFP是一 个直角三角形的三个顶点,且| 21 PFPF,求 2 1 PF PF 的值;【答案】 2 7 或 2 (二)椭圆的方程 【知识梳理】 椭圆的标 准方程: 条件 以线段 21F F所在的直线为 x轴,线段 21F F的垂直平 分线为 y 轴,建坐标系; 以线段 21F F所在的直线 为
6、 y 轴,线段 21F F的垂直平 分线为x轴,建坐标系; 标准方程01 2 2 2 2 ba b y a x 01 2 2 2 2 ba b x a y 求法定义法;待定系数法; 【练习突破】 1、已知关于yx,的方程124 22 ymxm, 若方程表示两条平行直线,则m 2 或 4 ; 若方程表示圆,则m3; 若方程表示椭圆,则m的取值范围是4,33,2; 若方程表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围是4, 3; 若方程表示焦点在y 轴上的椭圆,则m的取值范围是3, 2; 若方程表示双曲线,则m的取值范围是,42,; 若方程表示焦点在x轴上的双曲线,则m的取值范围是 2, ; 若方程表示焦
7、点在y 轴上的椭圆,则m的取值范围是, 4; 2、 动圆 M 与圆251: 22 yxA内切, 与圆11: 22 yxB外切, 则动圆 M 的圆心 M 的轨迹方程为 1 89 22 xy 3、 在平面直角坐标系xoy中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 21,F F在 y 轴上,离 心率为 2 2 ,过点 1 F的直线 l 交C 于BA,两点,且 2 ABF的周长为 16,那么 C的 方程为 _1 816 22 xy _ 4、已知 1 F、 2 F是椭圆1: 2 2 2 2 b y a x C(a b 0)的两个焦点, P 为椭圆 C 上 一点,且 21 PFPF. 若 21F PF的面积为 9,
8、离心率为 5 4 ,则那么椭圆C的方程 为 1 925 22 yx 5、 已知 122 1,0 ,1,0,FFCF是椭圆的两个焦点 过且 垂 直 于x轴的 直线 交于 AB、两点,且3AB, 则C 的方程为 【解析】设椭圆方程为1 2 2 2 2 b y a x ,则1 22 ba, 当1x时,) 1() 1 1 ( 2 2 2 2 22 a a b a by,所以312 2 a a b , 解得4 2 a,3 2 b.故所求的方程为 22 1 43 xy , 6、已知椭圆01 2 2 2 2 ba b y a x ,过点 2 1 , 1作圆1 22 yx的切线,切点分 别为 A,B, 直线
9、AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点, 则椭圆方程是1 45 22 yx 7、 (2012 山东)已知椭圆C : 01 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率为 2 3 ,双曲线 1 22 yx的渐近线与椭圆有四个交点, 以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆 C 的方程为( D ) A.1 28 22 yx B. 1 612 22 yx C. 1 416 22 yx D. 1 520 22 yx (三)椭圆的几何性质 【知识梳理】 椭圆的几何性质(以焦点在x轴上的椭圆01 2 2 2 2 ba b y a x 为例) 三个常量cba, 及其关系 a2 叫长轴长,a叫长半轴;
10、b2 叫短轴长, b 叫短半轴; c2 叫焦距,c叫半焦距;三者关系: 222 cba 对称性: (两轴、一中心) 对称轴:x轴、 y 轴;对称中心:坐标原点 六个定点 (两个焦点,四个顶点) 与坐标轴的交点叫顶点:0,a,b,0 焦点:0 ,cF 四个范围 离心率及其范围:1 ,0 a c e; 椭圆上任意点yx,范围:axa,byb 椭圆上任意点 P 到椭圆中心 O距离的范围:ab, 即 OP 的最大值为a,OP 的最小值为 b 椭圆上任意点 P 到椭圆的一个焦点F 距离的范围: cacaPF, caPF 最大值;caPF 最小值 【练习突破】 1、已知椭圆 2222 12 :1,:1,
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