大题冲关集训(一).pdf
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1、大题冲关集训 ( 一) 1.(2014 广东省江门市普通高中高三调研)已知函数 f(x)=-x 3+ax2+bx+c 在(- ,0) 上是减函数 ,在(0,1) 上是增函数 . (1) 求 b 的值, 并求 a 的取值范围 ; (2) 判断 f(x) 在其定义域 R上的零点的个数 . 解:(1) 由已知得 f (x)=-3x 2+2ax+b, 因为 f(x) 在(- ,0) 上是减函数 , 在(0,1) 上是增函数 , 所以 f(x) 在 x=0 处取得极小值 ,f (0)=0, 解得 b=0, 又因为 f(x) 在(0,1) 上是增函数 , 所以 f (x)=-3x 2+2ax0,a x,
2、当 x(0,1) 时,00时, 由上表知 ? x,f(x)0,x取某个充分大的实数 时,f(x)0 时,f(x) 在其定义域 R上有 3 个零 点. 综上所述 , 当 c0 或 cf(x)成立, 则称函数 f(x) 是 D上的 J 函数. (1) 当函数 f(x)=me xln x 是 J 函数时, 求 m的取值范围 ; (2) 若函数 g(x) 为(0,+ )上的 J 函数. 试比较 g(a) 与 e a-1 g(1) 的大小; 求证 : 对于任意大于 1 的实数 x1,x2, ,xn, 均有 g(ln(x1+x2+ +xn)g(ln x1)+g(ln x2)+ +g(ln xn). 解:(
3、1) 由 f(x)=me xln x, 可得 f (x)=m(e xln x+ ), 因为函数 f(x) 是 J 函数, 所以 m(e xln x+ )me xln x,x (0,+ ), 即0, 因为 0, 所以 m0,即 m的取值范围为 (0,+ ). (2) 构造函数 h(x)=,x (0,+ ), 则 h(x)=0, 可得 h(x) 为(0,+ )上的增函数 , 当 a1 时,h(a)h(1), 即, 得 g(a)e a-1 g(1); 当 0x1, 所以 ln(x 1+x2+xn)ln x1, 由可知 h(ln(x1+x2+xn)h(ln x1), 所以, 整理得 g(ln x1)
4、同理可得g(ln x2), , g(ln x n). 把上面 n 个不等式同向累加可得 g(ln(x 1+x2+xn)g(ln x1)+g(ln x2)+g(ln xn). 3.(2013 湖南省怀化市高三第一次模拟) 已知函数 f(x)=e x-ax-1(a0). (1) 求函数 f(x) 的最小值 ; (2) 若 f(x) 0 对任意的 xR恒成立 , 求实数 a 的值; (3) 在(2) 的条件下 ,证明:() n+( )n+( ) n+( )n0,f (x)=e x-a, 由 f (x)=e x-a=0, 得 x=ln a. 当 x(- ,ln a)时,f (x)0. f(x) 在(-
5、 ,ln a)上单调递减 , 在(ln a,+) 上单调递增 . 即 f(x) 在 x=ln a 处取得极小值 , 且为最小值 , 其最小值为 f(ln a)=e ln a -aln a-1=a-aln a-1. (2)f(x)0 对任意的 xR恒成立 , 即在 xR上, f(x)min0. 由(1), 设 g(a)=a-aln a-1, 所以 g(a) 0. 由 g(a)=1-ln a-1=-ln a=0得 a=1. 易知 g(a) 在区间(0,1) 上单调递增 , 在区间(1,+ ) 上单调递减 , g(a) 在 a=1 处取得最大值 , 而 g(1)=0. a=1. (3) 证明:由(2
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