2019上海春季高考数学试题与标准答案(考试院内部版2019.12.22启封前绝密).pdf
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1、2019 年上海市普通高等学校春季招生考试 数学试卷 考生注意: 1. 答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚,并在规定的区域内贴上条形码. 2. 本试卷共有20 道试题,满分150 分. 考试时间120 分钟 . 一 . 填空题(本大题满分60 分)本大题共有11 题,只要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结 果,每个空格填对得5 分,否则一律得零分. 1函数) 1(log 2 xy的定义域是. 2计算: 2 ) i1((i为虚数单位). 3函数 2 cos x y的最小正周期T. 4若集合1| xxA,集合20xxB,则BA. 5抛物线xy 2 的准线方程是. 6已知2,3
2、ba. 若3ba ,则a与b夹角的大小为. 7过点)1, 4(A和双曲线1 169 22 yx 右焦点的直线方程为. 8在ABC中,若60,75, 3ACBABCAB,则BC等于. 9已知对于任意实数x,函数)(xf满足)()(xfxf. 若方程0)(xf有 2019 个实数解, 则这 2019 个实数解之和为. 10一只猴子随机敲击只有26 个小写英文字母的练习键盘. 若每敲 1 次在屏幕上出现一个 字母,它连续敲击10 次,屏幕上的10 个字母依次排成一行,则出现单词“monkey” 的概率为(结果用数值表示). 11以下是面点师一个工作环节的数学模型:如图,在数 轴上截取与闭区间1,0对
3、应的线段,对折后(坐标1 所对应的点与原点重合)再均匀地拉成1 个单位长度的线段,这一过程称为一次操作 (例如在第一次操作完成后,原来的坐标 4 3 4 1 、变成 2 1 ,原来的坐标 2 1 变成 1,等等) . 那么原闭区间1,0上(除两个端点外)的点,在第二次操作完成后,恰好被拉到与 1 重合的点所对应的坐标是;原闭区间1, 0上(除两个端点外)的点, 2 1 01 在第n次操作完成后(1n) ,恰好被拉到与1 重合的点所对应的坐标为 . 二选择题(本大题满分16 分)本大题共有4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论 是正确的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对
4、得4 分,否则一律得零分. 12在空间中, “两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的答 ( ) (A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件. (C)充要条件 . (D)既不充分也不必要条件. 13过点)1,0(P与圆032 22 xyx相交的所有直线中,被圆截得的弦最长时的直线 方程是答 ( ) ( A)0x. (B)1y. (C)01yx. (D)01yx. 14已知函数 .0,log ,0,3 )( 2 1 xx x xf x 若3 0 xf,则 0 x的取值范围是答 ( ) (A)80x. (B)00x或80x. ( C)800x. (D)00x或800x. 15函数)01(11
5、2 xxy的反函数图像是答 ( ) x y 1 1 O (A) x y 1 1 O (D) x y 1 1 O (C) x y 1 O 1 (B) 三解答题(本大题满分74 分)本大题共有5 题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对应 的题号)内写出必要的步骤. 16. ( 本题满分 12 分) 如图,在斜三棱柱 111 CBAABC中,ACA1 2 ACB , 6 1C AA ,侧棱1 BB与底面所成的 角为 3 ,34 1 AA,4BC. 求斜三棱柱ABC 111 CBA 的体积V. 17. ( 本题满分 14 分) 本题共有2 个小题,第1 小题满分6 分,第 2 小题满分8 分. 已
6、知数列 n a的前n项和为 n S,1 1 a,且323 1nn Sa(n为正整数) . (1)求数列 n a的通项公式; (2)记 n aaaS 21 .若对任意正整数n, n SkS恒成立,求实数k的最大值 . 18. ( 本题满分 14 分) 我国计划发射火星探测器,该探测器的运行轨道是以火星(其半径34R百公里) 的中心 F为 一个焦点的椭圆. 如图,已知探测器的近火星点 (轨道上离火星表面最近的点) A到火星表面 的距离为8百公里, 远火星点 (轨道上离火星表 面最远的点) B到火星表面的距离为 800 百公 里 . 假定探测器由近火星点A第一次逆时针运 行到与轨道中心O的距离为ab
7、百公里时进行 变轨,其中a、b分别为椭圆的长半轴、短半轴的长,求此时探测器与火星表面的距离(精确到1 百公里) . FxO y BA | AB C 1 A 1 B 1 C 19. ( 本题满分 16 分) 本题共有3 个小题,第1 小题满分4 分,第 2 小题满分5 分 ,第 3 小题满分7 分. 如图,在直角坐标系xOy中,有一组对角线 长为n a的正方形 nnnn DCBA), 2, 1( n, 其对角线 nnD B依次放置在x轴上(相邻顶点重合). 设 n a是首项为a,公差为)0( dd的等差 数列,点 1 B的坐标为)0,( d. (1)当4, 8da时, 证明:顶点 321 AAA
8、、不在同一条直线上; (2)在( 1)的条件下, 证明:所有顶点 n A均落在抛物线xy2 2 上; (3)为使所有顶点 n A均落在抛物线)0(2 2 ppxy上, 求a与d之间所应满足的关系式. 20. ( 本题满分18 分) 本题共有3 个小题,第1 小题满分4 分,第 2 小题满分4 分, 第 3 小题满分 10 分. 设函数 4 0,cos)1(sin)( nnn n f ,其中 n为正整数 . (1)判断函数)()( 31 ff、的单调性,并就)( 1 f的情形证明你的结论; (2)证明: 2244 46 sincossincos)()(2ff; (3)对于任意给定的正整数n,求函
9、数)( n f的最大值和最小值. x O y 1 A 2 A 3 A 1 C 2 C 3 C 1 B2 B 3 B 1 D 2 D 3 D 2019 年上海市普通高等学校春季招生考试 数 学 试 卷 参考答案及评分标准 说明 1. 本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标 准的精神进行评分. 2. 评阅试卷, 应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当 考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分, 但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时, 可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严
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