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1、1若 xy0,则对 x y y x说法正确的是 () A有最大值 2B有最小值2 C无最大值和最小值D无法确定 答案: B 2设 x,y 满足 xy40 且 x,y 都是正整数,则xy 的最大值是 () A400 B100 C40 D20 答案: A 3已知 x 2,则当 x _时, x 4 x有最小值 _ 答案: 24 4已知 f(x) 12 x 4x. (1)当 x0 时,求 f(x)的最小值; (2)当 x0 时,求 f(x)的最大值 解: (1)x0, 12 x ,4x0. 12 x 4x2 12 x 4x83. 当且仅当 12 x 4x,即 x3时取最小值83, 当 x0 时, f(
2、x)的最小值为8 3. (2)x0, x0. 则 f(x) 12 x(4x) 2 12 x 4x 8 3, 当且仅当 12 x 4x 时,即 x 3时取等号 新 课标第一 网 当 x0 时, f(x)的最大值为 83. 一、选择题 1下列各式,能用基本不等式直接求得最值的是() Ax 1 2x Bx 211 x 21 C2 x 2x Dx(1x) 答案: C 2函数 y 3x 2 6 x 21的最小值是 () A3 23 B 3 C62 D6 23 解析: 选 D.y3(x2 2 x 21)3(x 21 2 x 211)3(221)6 23. 3已知 m、n R, mn100,则 m 2n2
3、的最小值是 () A200 B100 C50 D20 解析: 选 A.m2n22mn200,当且仅当mn 时等号成立 4给出下面四个推导过程: a, b(0, ), b a a b2 b a a b2; x,y(0, ), lgxlgy2lgx lgy; a R,a0, 4 aa 2 4 a a4;w w w .x k b 1.c o m x,yR, ,xy0, x y y x ( x y)( y x) 2 x y y x 2. 其中正确的推导过程为() AB CD 解析: 选 D.从基本不等式成立的条件考虑 a, b(0, ), b a, a b(0, ),符合基本不等式的条件,故的推导过程
4、 正确; 虽然 x,y(0, ),但当 x(0,1)时, lgx 是负数, y (0,1)时, lgy 是负数, 的推导过程是错误的; a R,不符合基本不等式的条件, 4 aa2 4 a a4 是错误的; 由 xy0 得 x y, y x均为负数, 但在推导过程中将全体 x y y x提出负号后, ( x y)均变为正数, 符合基本不等式的条件,故正确 5已知 a 0,b0,则 1 a 1 b2 ab的最小值是 () A2 B22 C4 D5 解析: 选 C.1 a 1 b 2 ab 2 ab 2ab2224.当且仅当 ab ab1 时, 等号成立, 即 ab1 时,不等式取得最小值4. 6
5、已知 x、 y 均为正数, xy8x2y,则 xy 有 () A最大值64 B最大值 1 64 C最小值64 D最小值 1 64 解析: 选 C.x、y 均为正数, xy8x2y28x 2y8xy, 当且仅当 8x2y 时等号成立 xy64. 二、填空题 7函数 y x 1 x1 (x0)的最小值为 _ 答案: 1 8若 x0,y0,且 x 4y1,则 xy 有最 _值,其值为 _ 解析: 1x4y2x 4y4xy, xy 1 16. 答案: 大 1 16 9(2010 年高考山东卷)已知 x,yR ,且满足x 3 y 41,则 xy 的最大值为 _ 解析: x0,y0 且 1 x 3 y 4
6、2 xy 12, xy3. 当且仅当 x 3 y 4时取等号 答案: 3 三、解答题 10(1)设 x 1,求函数y x 4 x1 6 的最小值; (2)求函数 yx 28 x1 (x1)的最值 解: (1)x 1, x10. yx 4 x16x1 4 x15w w w .x k b 1.c o m 2 x 1 4 x 159, 当且仅当 x1 4 x1,即 x1 时,取等号 x1 时,函数的最小值是9. (2)y x 2 8 x1 x 219 x1 (x1) 9 x 1 (x1) 9 x12.x1, x10. (x1) 9 x122 x1 9 x128. 当且仅当 x1 9 x1,即 x4
7、时等号成立, y 有最小值 8. 11已知 a,b,c (0, ),且 a bc1,求证: ( 1 a1) ( 1 b1) (1 c1)8. 证明: a,b,c(0, ),ab c1, 1 a1 1a a bc a b a c a 2bc a , 同理 1 b 1 2ac b , 1 c 1 2ab c , 以上三个不等式两边分别相乘得 (1 a1)( 1 b1)( 1 c1)8. 当且仅当 abc 时取等号 12某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200 平方米的二级污水处理池,池的深 度一定, 池的外圈周壁建造单价为每米400 元,中间一条隔壁建造单价为每米100 元,池底 建造单价每平方米60 元(池壁忽略不计) 问:污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低 解: 设污水处理池的长为x 米,则宽为 200 x 米 总造价 f(x)400(2x 2 200 x )100 200 x 60 200 800 (x225 x )12000 1600x 225 x 12000 36000(元) 当且仅当 x 225 x (x0), 即 x15 时等号成立
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