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1、矩形、菱形、正方形 知识回顾: 知识点一:矩形的特有性质 矩形的四个角都是,对角线。 如图 1,四边形ABCD 是矩形, 。 例 1:(2009 年牡丹江市 ) 矩形 ABCD 中,对角线 AC 、BD 交于点 O , AE BD 于E,若 OE ED=1 3,AE=A3EA,则BD= 解:情形一,如图例1-a OE ED=1 3,OE OD=1 2,四边形 ABCD 为 矩形,故 OB=OD , E为 BD 中点, AB=AO=BO, ABO 为等边三角形, AE=A 3EA, AO=2 , BD=2BO=2AO=4. 情形二,点E在线段 OD之间,如图例1-b OE ED=1 3, 可设
2、OE=a,则 OD=OA=4a.在 RtAEO中由勾股定理得AO 2=OE2+AE2, (4 a) 2= a2 +3, a=EA 4A 5A 5E A, BD=2BO=2AO=EA 8A5A 5E A. 故BD=4或BD=EA 8A 5A 5E A. 同步测试1: 1 ( 2009 年凉山州) 如图 2,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,使 C落在C 处,BC交AD于E, 则下列结论不一定成立的是() AADBCBEBDEDB CABECBDDsin AE ABE ED 2 ( 2009 年长沙) 如图 3,矩形ABCD的两条对角线相交于点O, 602AOBAB , ,则矩形的对角线 AC的长是
3、( ) A 2 B4 C2 3D4 3 知识点二:矩形的判定 有一个角是的是矩形; 如图 4, 四边形ABCD 是矩形; o BC DA 图 1 C D C A B E 图 2 O D C A B 图 3 o BC DA 图 4 E O D CB A 例 1-a AB CD O E 例 1-b 有个角是直角的四边形是矩形; 如图 4, 四边形ABCD 是矩形; 对角线的是矩形; 如图 4, 四边形ABCD 是矩形。 例 2:(2008 湖北咸宁 ) 如图,在ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN BC,设MN交BCA的角平分线于点E,交BCA的外角平分线于点F (1)求证:EO=
4、FO; (2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形? 并证明你的结论 解( 1)证明:CE平分BAC ,1 2 , 又MNBC,13,32 , EO CO 同理, FO CO EOFO (2)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形 EO FO ,点O是AC的中点 四边形AECF是平行四边形 又12 ,45 1 2418090 2 ,即90ECF 四边形AECF是矩形 同步测试2: 1(2009 年漳州)如图,要使 ABCD 成为矩形, 需添加的条件是 () AABBCBACBD C90ABCD12 2(2009 年上海市 ) 在四边形ABCD中,对角线AC与BD互相 平分,交点为O
5、在不添加任何辅助线的前提下,要使四边形 A B C EF M N O 例 2 1 2 B C D A O 图 5 o B C D A 图 6 ABCD成为矩形,还需添加一个条件,这个条件可以是 知识点三:菱形的特有性质 菱形的四条边,对角线并且。 如图 6,四边形ABCD 是菱形, 。 例 3: (2009 肇庆) 如图,ABCD是菱形,对角线AC与BD相交 于O,306ACDBD , (1)求证:ABD是正三角形; (2)求AC的长(结果可保留根号) 解: (1)证明:AC是菱形ABCD的对角线, AC平分BCD 又ACD=30,BCD=60 BAD与BCD是菱形的一组对角, BAD=BCD
6、=60 AB、AD是菱形的两条边,ABAD ABD是正三角形 (2)解:O为菱形对角线的交点, 1 2390 2 ACOCODBDCOD, 在RtCOD中,tantan30 OD OCD OC , 3 3 3 tan303 3 OD OC , 26 3ACOC,答AC 同步测试3: 1 (2009 年衡阳市)如图 7,菱形ABCD的周长为20cm,DEAB, 垂足为E, 5 4 Acos,则下列结论中正确的个数为() DE=3cm;EB=1cm; 2 ABCD 15Scm 菱形 A3 个B2 个C1 个D0 个 A B C D E 图 7 O D C B A 例 3 2 ( 2009 年长春)
7、 菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图8 所示,45AOC ,2OC,则点B的坐标为() A( 21),B(1 2), C( 211),D(1 21), 知识点四:菱形的判定 有一组邻边的是菱形; 如图 9, 四边形ABCD 是菱形; 的四边形是菱形; 如图 9, 四边形ABCD 是菱形; 对角线的是菱形; 如图 9, 四边形ABCD 是菱形。 例 4: (2009 年兰州) 如图,在四边形ABCD中,E为AB上一点, ADE和BCE都是等边三角形,AB、BC、CD、DA的中点分别为 P、Q、M、N,试判断四边形PQMN为怎样的四边形,并证明你的结论 解:PQ为ABC的中位线,PQ 2 1
8、 AC同理MN 2 1 AC MNPQ,四边形PQMN为平行四边形 在AEC和DEB中, AEDE,ECEB,AED60CEB, 即AECDEBAECDEBACBD PQ 2 1 AC 2 1 BDPN,PQMN为菱形 同步测试4: 1. ( 2008 天津) 在平面直角坐标系中,已知点A(0,2) ,B(32,0) ,C(0,2) ,D x y O C B A 图 8 o B C D A 图 9 例 4 (32,0) ,则以这四个点为顶点的四边形ABCD是() A矩形B菱形C正方形D梯形 2 ( 2009 年广西梧州) 如图 10,ABC中,AC的垂直平分线MN交AB于点D,交AC于点O,
9、CEAB交MN于E,连结AE、CD (1)求证:ADCE; (2)填空:四边形ADCE的形状是 知识点五:正方形的性质 有并且有的叫做正方形。 例 5:(2009 年南充 ) 如图,ABCD是正方形,点G是BC上的任意一点, DEAG于E,BFDE,交AG于F 求证:AFBFEF 证明:ABCD是正方形,90ADABBAD, DEAG , 90DEGAED 90ADEDAE 又90BAFDAEBAD,ADEBAF BFDE, AFBDEGAED 在ABF与DAE中, AFBAED ADEBAF ADAB , (AAS)ABFDAEBFAE AFAEEF,AFBFEF 同步测试5: 1 ( 20
10、09 年湖北荆州)如图 11,将边长为8 的正方形ABCD折叠,使点D落在BC边的中 D BC A E N M O 图 10 例 5 D C B A E F G 点E处,点A落在F处,折痕为MN,则线段CN的长是() A 3cmB4cmC5cmD6cm 2 ( 2009 年孝感) 如图,正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF,M 、N 、E、F分别在边AB、 CD、AD、BC上小明认为:若MN = EF,则MNEF;小亮认为 : 若MNEF,则MN = EF你 认为 ( ) A仅小明对B仅小亮对C两人都对D两人都不对 知识点六:正方形的判定 的矩形是正方形;的菱形是正方形。 例 6:(200
11、9 年湖州 ) 如图:已知在ABC中, ABAC,D为BC边的中点, 过点D作DEABDFAC, 垂足分别为EF,. (1) 求证:BEDCFD; (2)若90A,求证:四边形DFAE是正方形 . 解: (1)DEABDFAC,90BEDCFD, ABAC,BC, D是BC的中点,BDCD, BEDCFD. (2) DEABDFAC, , 90AEDAFD,90A, 四边形DFAE为矩形 . BEDCFD, DEDF,四边形DFAE为正方形 同步测试6: 1. ( 2009 年莆田) 如图 13,菱形ABCD的对角线相交于点O, 图 12 N M F E D C B A 图 11 A B C
12、D D C B A O 图 13 O 例 6 D C B E A F 请你添加一个条件:,使得该菱形为正方形 知识点七:平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系 平 正 行四边形 矩形菱形 方 形 例 7:请填写下列表格 图形平行四边形矩形菱形正方形 对称中心对角线交点 定义 性 质 边 角 对角线 判 定 边 既 是 矩 形 又 是菱形 角 对角线 同步测试7: 1 ( 2009 年湘西自治州)在下列命题中,是真命题的是() A两条对角线相等的四边形是矩形 B两条对角线互相垂直的四边形是菱形 C两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 D两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 2 ( 2009
13、眉山) 下列命题中正确的是( ) A矩形的对角线相互垂直B菱形的对角线相等 C平行四边形是轴对称图形D等腰梯形的对角线相等 随堂检测: 1( 2009 年佛山市) 正方形有 U U条对称轴 2( 2009 年杭州市) 如果用 4 个相同的长为3 宽为 1 的长方形,拼成一个大的长方形,那 么这个大的长方形的周长可以是_ 3( 2009 临沂) 如图 14,在菱形ABCD中,72ADC,AD的垂直平分线交对角线BD 于点P,垂足为E,连接CP,则CPB_度 4( 2009 年山东青岛市)如图 15,边长为 1 的两个正方形互相重合,按住其中一个不动, 将另一个绕顶点A顺时针旋转45,则这两个正方
14、形重叠部分的面积是 5( 2009 贺州) 如图 16,正方形ABCD的边长为1cm,E 、F分别是BC 、CD的中点,连接 BF 、DE,则图中阴影部分的面积是cm 2 6( 2009 恩施市) 两个完全相同的矩形纸片ABCD、BFDE如图 17 放置,ABBF, 求证:四边形 BNDM 为菱形 7 (2009 年江苏省) 如图 18, 在梯形 ABCD 中,AD BCABDEAFDC, EF、 两点在边BC上,且四边形AEFD是平行四边形 (1)AD与BC有何等量关系?请说明理由; (2)当ABDC时,求证:ABCD是矩形 B C E A D F 图 16 A D C B C D B 图
15、15 E D C B A E P 图 14 C D E M A B F N 图 17 A D C F E B 图 18 8(2009 年黄石市)如图 19,ABC中, 点O是边AC上一个动点, 过O作直线MNBC, 设MN交BCA的平分线于点 E,交BCA的外角平分线于点F (1)探究:线段OE与OF的数量关系并加以证明; (2)当点O在边AC上运动时,四边形BCFE会是菱形吗?若是,请证明,若不是, 则说明理由; (3)当点O运动到何处,且ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形? 第 31 课时 矩形、菱形、正方形参考答案 同步测试1: 1.C;2. B 同步测试2: 1C ;2AC=
16、BD, 的长为6 3 同步测试3: 1A;2C 同步测试4: 1. B; 2 (1)证明:MN是AC的垂直平分线 OAOC AODEOC=90 CEAB DAOECO ADOCEO ADCE (2)四边形ADCE是菱形 图 19 A F N D C B M E O 同步测试5: 1 A;2C 同步测试6: 1.ABBC或ACBD或AOBO等 同步测试7: 1C;2D 随堂检测: 14;214 或 16 或 26; 372; 421;5 2 3 ; 6证明 : 四边形ABCD、BFDE是矩形 BMDN,DMBN 四边形BNDM是平行四边形 又AB=BF=ED, A=E=90AMB=EMD ABM
17、EDMBM=DM平行四边形BNDM是菱形 7(1)解: 1 3 ADBC 理由如下: ADBCABDEAFDC, 四边形ABED和四边形 AFCD 都是平行四边形. ADBEADFC, 又四边形AEFD是平行四边形,ADEFADBEEFFC 1 3 ADBC (2)证明:四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形, DEABAFDC, ABDCDEAF, 又四边形AEFD是平行四边形,四边形AEFD是矩形 8解: (1)OEOF 其证明如下:CE是ACB的平分线,12 MNBC,1323 OE OC同理可证OCOF OE OF ( 2)四边形BCFE不可能是菱形,若BCFE为菱形,则BFEC,而由( 1)可知 FCEC,在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线 (3)当点O运动到AC中点时,OEOF,OAOC,则四边形AECF为,要使 AECF为正方形,必须使EFAC EFBC,ACBC,ABC是以ACB为直角的直角三角形, 当点O为AC中点且ABC是以ACB为直角的直角三角形时,四边形AECF是 正方形
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