中考数学复习资料:直角三角形及其应用.pdf
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1、解直角三角形及其应用 知识点回顾 知识点 1:解直角三角形 1 、解直角三角形的类型: 根据求解的条件分类,利用边角关系可有如下基本基本类型及其解法: (1)已知两边: 两条直角边a、b其解法: c= 22 ba,用 tanA= ,求得 A, B=90 A 斜边和一条直角边c、a其解法: b= 22 ac,用 sinA= ,求得 A,B=90 A (2)一边和一锐角: 一条直角边a 和锐角 A: B=90 A;用 tanA= b a , 求得 b= ;用 sinA= c a , 求得 c= 斜边c 和锐角A: B=90 A;用sianA= c a , 求得 a= ;用cosA= c b , 求
2、得 b= 2、解直角三角形的方法(口诀): “有斜用弦,无斜用切;宁乘毋除,取原避中”这两句话的意思是:当已知和求解中 有斜边时, 就用正弦或余弦; 无斜边时, 就用正切; 当所求的元素既可用乘法又可用除法时, 则用乘法,不用除法;既可用已知数据又可用中间数据求解时,则用原始数据,尽量避免用 中间数据 【友情提示】 解题时方法要灵活,选择关系时尽量考虑用原始数据,减小误差; 斜三角形问题可添加合适的辅助线转化为直角三角形问题。 例 1: (08 年宁夏中考)如图,在ABC中,C=90, sinA= 5 4 ,AB=15,求ABC 的周长和tanA的值 解析: 应用直角三角形边角关系求出各边长,
3、再求出周长与tanA 的值。 解: 在Rt ABC中, C=90, AB=15 Asin= AB BC = 5 4 , 12BC 91215 2222 BCABAC ABC的周长为36 tan A= 3 4 AC BC 同步检测一: 1 ( 2009湖南省益阳市)如图3,先锋村准备在坡角 为的山坡上栽树,要求相邻两树之间的水平距离为5 米,那么这两树在坡面上的距离AB为() A. cos5 B. cos 5 C. sin5 D. sin 5 2 (2008 湖南益阳)AC是电杆AB的一根拉线,测得BC=6 米,ACB=52, 则拉线AC的长为 ( ) A. 52 6 sin 米 B. 52 6
4、 tan 米 C. 6 cos52米D. 52 6 cos 米 3. (2008年乐山市 ) 如图 AD CD ,AB 13,BC 12, CD 3,AD 4,则 sinB= () A、 5 13 B、 12 13 、 3 5 、 4 5 答案: 1B.2 D3A 知识点 2:解直角三角形的应用 (1)仰角和俯角 在进行测量时,从下向上看,视线与水平线的夹角叫做; 从上往下看,视线与水平线的夹角叫做 . 5 米 A B 图 3 A B C B D C A (2)方位角 ?指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900 的角 , 叫做 . ?如图:点A在 O的北偏东30 ?点 B在点 O的南偏西4
5、5(西南方向) 注意:方位角是指从正北方向开始顺时针旋转后所成的角。 (3)坡度的概念,坡度与坡角的关系。 如右图,这是一张水库拦水坝的横断面的设计图,坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫 做坡度 ( 或坡比 ) ,记作 i ,即 i ,坡度通常用l :m的形式,例如上图中的1:2 的形 式。坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道,坡度与坡角的关系是i l h = ,显然,坡度越大,坡角越大,坡面就越陡。 【友情提示】在解直角三角形的应用题时,要注意以下各点: 30 45 B O A 东 西 北 南 铅 直 视线 仰角 俯角 视线 水平线 要弄清仰角、俯角、坡度坡角、方向角等概念的意义
6、; 认真分析题意,画图并找出要求解的直角三角形。有些图形虽然不是直角三角形,但可通 过添加适当的辅助线把它分割成一些直角三角形和矩形。 选择合适的边角关系,使运算尽可能简便,并且不容易出错; 按题目中已知数的精确度进行近似计算,并按题目要求精确度确定答案,注明单位。 例 2: (08 年河北)气象台发布的卫星云图显示,代号为W的台风在某海岛(设为点O)的 南偏东45方向的 B点生成, 测得 100 6kmOB台风中心从点 B以 40km/h 的速度向正北方向移动,经5h 后到达海面上的点C 处因受气旋影响,台风中心从点C开始以30km/h 的速度向北偏 西60方向继续移动以O为原点建立如图12
7、 所示的直角坐标系 (1) 台风中心生成点B的坐标为, 台风中心转折点C 的坐标为; (结果保留根号) (2)已知距台风中心20km 的范围内均会受到台风的侵袭如果某城市(设为点A)位于 点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上,那么台风从生成到最初 侵袭该城要经过多 长时间? 解析: 过点 C作 CD OA于点 D ,构造直角三角形求出CA的长,然后根据速度求台风从生成 到最初侵袭该城要经过的时间。 解: (1)(100 31003)B,(100 3 200100 3)C,; (2)过点C作CDOA于点D,如图 2,则100 3CD 在RtACD中,30ACD,100 3CD, 3 cos3
8、0 2 CD CA 200CA 20020 6 30 ,5611, 台风从生成到最初侵袭该城要经过11 小时 x/km y/km 北 东 A O B C 60 45 图 12 x/km y/km A O B C 60 45 图 2 D A B C D 例 3:( 09 年广东深圳) 如图,斜坡AC的坡度(坡比)为 1: 3 , AC 10 米坡顶有一旗杆BC,旗杆顶端B点与A点有一条彩 带AB相连,AB14 米试求旗杆BC的高度 解析: 延长 BC交 AD于 E点,构造直角三角形,由坡比为1 3,可知 CAE=30 ,运用解直角三角形知识可求出CE、AE 的长度,在Rt ABE中运用勾股定理,
9、可求得BE ,BC=BE-CE. 解: 延长BC交AD于E点,则CEAD 在 RtAEC中,AC10, 由坡比为 13 可知:CAE30, CEAC sin30 10 1 2 5, AEACcos30 10 3 2 5 3 在 RtABE中,BE 22 ABAE 22 14(5 3) 11 BEBCCE,BCBECE 11-56(米) 答:旗杆的高度为6 米 例 4: (09 年四川成都)某中学九年级学生在 学习“直角三角形的边角关系”一章时,开展 测量物体高度的实践活动,他们要测量学校一 幢教学楼的高度如图, 他们先在点C测得教 学楼 AB的顶点 A的仰角为30,然后向教学 楼前进 60 米
10、到达点D,又测得点A的仰角为45。请你根据这些数据,求出这幢教学楼的 高度 ( 计算过程和结果均不取近似值) 解析: 由仰角的定义可知ABD=45 , ACE=30 ,在 RtABC中运用解直角三角形知识可 以求得 BC=3AB ,由 BC-BD=CD, 得3AB-AB=60 , AB=30 (3+1)米。 解: 如图,由已知可得ACB=30 , ADB=45 在 RtABD中, BD=AB. 又在 RtABC中, tan30 = BC AB , BC AB = 3 3 ,即 BC=3AB. BC=CD BD, 3AB=CD AB ,即(31)AB=60. A B C D E A B C D
11、AB= 13 60 =30(31) (米) 答:教学楼的高度为30(31)米 . 同步检测二: 1. (2009黑龙江省哈尔滨市)如图,一艘轮船以每小时20 海里的速度沿正北方向航行, 在 A处测得灯塔C在北偏西30方向,轮船航行2 小时后到达B处,在 B处测得灯塔C在北 偏西 60方向 当轮船到达灯塔C的正东方向的D处时,求此时轮船与灯塔C的距离 (结果 保留根号) 2. ( 2009内蒙古包头市)如图,线段ABDC、分别表示甲、乙两建筑物的高, ABBCDCBC,从B点测得D点的仰角为 60从A点测得D点的仰角为 30,已知甲建筑物高36AB米 (1)求乙建筑物的高 DC ; (2)求甲、
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- 中考 数学 复习资料 直角三角形 及其 应用
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