苏教版高中数学必修教案:第11课时异面直线(二).pdf
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1、第 11课时异面直线(二) 教学目标: 会求异面直线所成的角和异面直线间的距离,培养学生的空间想象能力、分析问题、解 决问题的能力、逻辑推理能力,使学生初步掌握将空间问题转化为平面问题的数学思想;渗 透事物互相转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点. 教学重点: 异面直线所成角的计算和异面直线间距离的计算. 教学难点: 异面直线所成角的计算和异面直线间距离的计算. 教学过程: .复习回顾 师上节课我们学习了异面直线所成的角,异面直线间的距离两个概念,请一位同学 来叙述一下异面直线所成角的定义. 生过空间任意一点O,与异面直线a 和 b 分别平行的直线所成的锐角(或直角 )叫做两 条异面直线所成的
2、角. 师定义不但告诉我们怎样的角叫做异面直线所成的角,而且告诉了我们两异面直线 所成角的范围是什么? 生 (0, 2 师当两条异面直线所成的角为 2 时,这两条直线_. 生垂直、异面垂直. 师所以,今后谈到两条直线垂直时,它们可能共面垂直,也可能异面垂直.在学习异 面直线间的距离时,首先涉及到一个概念异面直线的公垂线.怎样的直线称为异面直线的 公垂线呢? 生与两条异面直线都垂直相交的直线称为异面直线的公垂线. 师定义中的要点是什么? 生 “垂直”“相交”二者缺一不可! 师好!把握好公垂线的概念,异面直线间距离的定义就容易掌握了.谁来表述一下异 面直线间距离的定义? 生两条异面直线的公垂线段的长
3、叫做两条异面直线的距离. 师上节课求异面直线所成的角与求两条异面直线的距离,我们讨论了一个比较简单 的例子 .这节课我们继续来研究两条异面直线所成的角和距离的计算方法. .新课讨论 例 1在正方体ABCDA1B1C1D1中, O1为上底中心,求下列异面直线所成的角. (1)AB1与 BC1;(2)A1B 与 B1D. 分析:求异面直线所成的角,关键是选择恰当的点,通过平移找到两条异面直线所成的角, 找到的这个角还要较好的联系已知,对于(1),同学们看一下,过哪条上的一点,平移另一条 好呢? 生过A 点平移 BC1较好,过C1平移 AB1也行,但前者 较后者从图形上看更直观. 师怎样平移BC1呢
4、? (学生考虑 ) 师连结AD1,则 AD1BC1,对吗?为什么? 生连结AD1,则四边形ABC1D1是平行四边形,所以 AD1BC1. 生 D1AB1是异面直线AB1与 BC1所成的角 . 师怎样求其大小呢? 生在 D1AB1中求,因为 D1AB1是正三角形,所以D1AB1是 60,即 AB1与 BC1 所成的角是60. 师请大家写出此题的解答过程(并请一位同学在黑板上写出). (1)解:连结 AD1,则 AD1BC1 D1AB1是异面直线AB1与 BC1所成的角 D1AB1是正三角形 D1AB1 60 即 AB1与 BC1所成的角是60. 师下面我们来分析(2),仍然是先平移将异面直线所成
5、的角转化为相交直线所成的角. (同学试着平移,怎样也不能奏效) 师 我们来做一个辅助图形:在这个正方体上面放一个同样大小的正方体.(教师在黑板 上画一画,或者在投影片上画也行),这样能找到两条异面直线所成的角了吗? 生连结B1A2,则 B1A2平行于 A1B,B1A2与 B1D 所成的锐角 (或直角 )是异面直线A1B 与 B1D 所成的角 . 师怎样求其大小呢? 生在 A2B1D 中求 . 师在 A2B1D 中怎样求呢? 生 A2B1D 中,B1D3 a,B1A22 a,A2D5 a.(如果学生答不来,教师再予 以提示 ),用余弦定理可求得A2B1D 的大小 . 生甲知道A2B1D 的三边长
6、度后,通过观察,心算,知A2D 2B 1D 2 B1A2 2 ,所以 A2B1D90,即 A1B 与 B1D 所成的角为90. 师请同学们写出解答过程. (2)解:在这个正方体上面放一个同样大小的正方体如图(黑板上的图 ), 连结 B1A2, 则 B1A2 BA1 B1A2与 B1D 所成的锐角 (或直角 )就是异面直线A1B 与 B1D 所成的角 (强调学生注意, 这一句表述不能省略,凭观察这个角稍大,故不能用A2B1D 表示异面直线A1B 与 B1D 所 成的角 ) 在 A2B1D 中, B1D3 a, B1A22 a, A2D5 a A2D 2B 1D 2B 1A2 2, A2B1D90
7、. 即 A1B 与 B1D 所成的角为90. 师若求出的A2B1D90,那么异面直线A1B 与 B1D 所成的角是怎样的呢? 生是 A2B1D 的补角 . 师很好 .绝对不能忘记两异面直线所成角的范围是(0, 2 ,这个题,待我们学习了后 面的知识之后,会有更简捷的解答方法(为学生积极学习后面的知识设下这个“诱饵”). 例 2一空间四边形ABCD 的边长均为a,连对角线AC、BD ,且 ACBDa,E、F 分别为 AB、CD 的中点 . (1)证明: EF 是异面直线AB、CD 的公垂线; (2)求异面直线AB 与 CD 的距离 . 分析: (1)EF 与 AB、 CD 都相交,要证明EF 是
8、 AB、CD 的 公垂线,只要证明EF 与 AB、CD 都垂直就行了,先来分析怎样 证 EF 与 CD 垂直,连结EC、ED,在 ECD 中,因为F 是 CD 的中点,所以要想证EF 垂直于 CD,只要证 生证 ECD 是等腰三角形就行了,即只要证EC 等于 ED 就行了 . 师怎样证 EC 等于 ED?(似乎又陷入了困境), 请同学们注意: EC、 ED 分别是 CAB、 DAB 的中线,所以要证EC 等于 ED ,只要证 生证 CAB 与 DAB 全等就行了 . 师怎样证CAB 与 DAB 全等呢? 生这两个三角形都是边长为a 的正三角形全等. 师同理可证EFAB. 至此,我们的问题(1)
9、解决了 .一会儿我们再写证明过程,现在 我们来分析 (2),求异面直线AB 与 CD 的距离就是求异面直线AB 与 CD 的公垂线段的长度, 我们刚才已经证明了EF 是异面直线AB 与 CD 的公垂线, 所以求异面直线AB 与 CD 的距离, 就是求 生 EF 的长度 . 师怎样求呢? 生 在 RtEFC 中就可求得, 因为 CFa 2 ,ECAC 2-AE2 a 2-1 4 a 2 3 2 a,所 以 EF CE 2-CF2 3 4 a 2 -1 4 a 2 2 2 a. 师好 .下面请同学们完成此题的证明与解答. (1)证明:连结CE、DE. 由题设知 CAB DAB , 又 E 是 AB
10、 的中点, CEDE. 在等腰 ECD 中, F 是 CD 的中点 EF 是 CD 上的中线EFCD. 同理可证EFAB. 又 EF 与 AB、CD 都相交 EF 是异面直线AB、CD 的公垂线 . (2)解:由 (1)可知 EF 的长即为异面直线AB、CD 的距离 . 在 RtEFC 中, CF1 2 a CE 2AC2AE23 4 a 2 EF CE 2-CF2 3 4 a 2 -1 4 a 2 2 2 a. 因此异面直线AB、CD 的距离为 2 2 a . 例 3如图空间四边形ABCD 的两条对角线AC、BD 所成的角为 ,AC a,BD b(a、 b 是常数 ),E、F、G、H 分别是
11、AB、BC、CD、DA 的中点,当 为何值时,四边形EFGH 的面积最大?最大值是多少? 分析:求面积的最大值,首先需要干什么呢? 生列出四边形EFGH 面积的函数关系式. 师题中问当 为何值时,四边形EFGH 的面积最大 .那么 列出的面积关系式就要用 生要用 来表示 . 师四边形的面积要用来表示,那么四边形EFGH 就要 与有联系,并且要表示出面积还得清楚四边形是怎样的四边形, 同学们再来继续分析一下四边形EFGH 是怎样的四边形,与有怎样的联系. 生四边形EFGH 是平行四边形,因为E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中 点,所以 EH BD 且 EH 1 2 BD , F
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