苏教版高中数学必修教案:第15课时直线与平面平行的判定和性质(三).pdf
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1、第 15 课时直线与平面平行的判定和性质(三) 教学目标: 通过运用定理解决具体问题,培养学生的空间想象能力、判断思维能力、逻辑推理能 力,使学生进一步掌握直线与平面平行的判定定理、性质定理,并能正确运用之解决一些 具体问题;通过学生自主地学习过程,激发学生学习数学的自信心和积极性,培养学生不断 发现,探索新知的精神,提高观察问题、分析问题的能力,增强勇于战胜困难的勇气. 教学重点: 直线与平面平行的判定定理、性质定理的应用. 教学难点: 直线与平面平行的判定定理、性质定理的应用. 教学过程: .复习回顾 师前面我们学习了直线与平面的三种位置关系,并且讨论了其中的一种关系直 线与平面的平行问题
2、,学习了一个判定定理、一个性质定理,请同学们回忆一下判定定理和 性质定理的具体内容. 生判定定理是“线线平行则线面平行”,性质定理是“线面平行则线线平行”. 师请具体阐述一下判定定理中前面的“线线”,性质定理中后面的“线线”. 生判定定理中前面的“线线”,一条在平面外,另一条在前述的平面内;性质定理后 面的“线线” ,一条是平行于平面的直线,另一条是过前一条直线的平面与已知平面的交线. 师好 .应用定理应注意什么? 生结论成立的条件一个不能少. 师判定定理结论成立的条件有几个?分别是什么? 生有三个.分别是 a,b,ab. 师性质定理结论成立的条件有几个?分别是什么? 生有三个.分别是 a,a
3、, =b. 师应该注意.应用定理解决具体问题时,三个条件一个不能少.还有,如果证题过程中 能应用“”符号,则尽可能使用,它能使你的推理更加严谨、简捷,给读者或老师或阅卷 人一个简洁明了的印象.下面我们来讨论直线与平面平行的判定定理与性质定理的综合应用. .新课讨论 师上节课,我们已经讨论了一个综合应用的例子,大家讨论、分析、研究得很投入, 希望继续发扬这种钻研精神,来研究我们面临的问题. 例 1已知 ABCD 是平行四边形, 点 P 是平面 ABCD 外一点, M 是 PC 的中点, 在 DM 上取一点 G,过 G 和 AP 作平面交平面BDM 于 GH,求证: APGH. 分析:欲证APGH
4、.只要证什么就可以了? 生因为GH 是过 AP 的平面与面BDM 的交线,所以 要证 APGH,只要证AP 与含 GH 在内的平面平行就可以了. 师 GH 在哪一个平面内? 生 GH 在面 BDM 内. 师那也就是说,只要证AP 与面 BDM 平行就行了 .怎样 证 AP 与面 BDM 平行呢? 生只要证AP 与面 BDM 内一条直线平行就行了. 师与面BDM 内哪一条直线平行呢?能是GH 吗? 生肯定不能是GH. 师那么证AP 与哪一条直线平行呢?(稍停,给学生留出点思考的时间),这就得在面 BDM 内找,找到的这条直线,要能较好地联系已知. 生连结AC,AC 与 BD 的交点是平行四边形A
5、BCD 的对角线AC 的中点,设为O, 因为 M 是 PC 的中点,连结OM,则 OM 在面 BDM 内,又是 PAC 的中位线,所以AP 平行 MO,问题得证啦! 师同学所谈有道理吗? 众生有 . 师 同学的分析完全正确.下面请同学们整理证明过程(请一位同学写在黑板上,供 教师做讲评 ). 证明:连结AC,设 AC 交 BD 于 O,连结 MO. 四边形ABCD 是平行四边形 O 是 AC 的中点 又 M 是 PC 的中点 MO P A 又 MO面 BDM、 P A面 BDM. PA面 BDM . 又经过 PA 与点 G 的平面交面BDM 于 GH. AP GH. 师刚才我们分析所用的方法称
6、为执果索因法,我们证题一般用的由因导果法(也叫综 合法 ).前者是从结果(论)出发, 寻找结果 (论)成立的原因 (条件 ),一直追溯到已知;后者是从条 件出发一直到推出结果.两者是完全不同的推理方法.请同学们注意:执果索因法是分析问题、 寻求思路的一种有效方法.遇到问题,两者联用,在似乎“山穷水尽疑无路”之时,都能寻求 到解 (证)题的途径,达到“柳暗花明又一村”的境地. 例 2如图,平面MNPQ AC,BD面 MNPQ . (1)求证: MNPQ 是平行四边形; (2)如果 ACBDa,求证:四边形MNPQ 的周长为定值; (3)如果 ACa,BD b,AC 与 BD 成角,求四边形MNP
7、Q 面积的最大值,并确定此时 M 的位置 . 师请同学们认真审题,并作出分析,以学习小组为单位 展开讨论,寻求答题途径. (同学们人人积极思考,以学习小组为单位各抒己见,讨论很 热烈 ) 生甲对于(1)小题,欲证MNPQ 是平行四边形,只要 证明 MNPQ 有一组对边平行且相等,或两组对边分别平行就可 以了,结合已知易证两组对边分别平行,因为AC 平行于面MNPQ, 过 AC 的平面 ACB 交面 MNPQ 于 MN,所以 AC 平行于 MN,同理 AC 平行于 PQ,由平行公 理得 MN 平行于 PQ,同理可证MQ 平行于 NP,所以四边形MNPQ 是平行四边形 . 师生甲同学分析得很好.
8、生乙对于(2)小题 .因为 MN 平行于 AC,所以 MN AC BM BA ,又 ACa,所以 MN BM BA a,因为MQ 平行于BD.所以 MQ BD AM AB .又 BDa,所以MQ AM AB a,所以四边形 MNPQ 的周长 2(MN MQ)2a(BM BA AM AB ) 2a(定值 ) 师很好 .对于定值问题的证明,可以先探求定值,探求定值的方法,可以取特殊位置 去探求 .比如这个题,可把M、N、P、Q 分别看作 AB、BC、CD、DA 的中点去探求定值.探求 出定值之后,目标就明确了,利用已知向目标靠拢即可.但要注意,取特殊位置只能用以对定 值的探求,而不能作为证明的依据
9、.否则就使问题失去了普遍性、一般性. 师谁来谈一下第(3)小题的解题思路? (谈这个小题没有谈前面两个小题那样踊跃,可能遇到了什么障碍) 师你是怎样想的就怎样谈,说多少算多少,说错了也没关系!(鼓励学生大胆发言), 其他同学要注意听,大家共同想办法,把这个问题解决了. 生丙要求四边形MNPQ 面积的最大值,首先需要列出面积的函数关系式;要列出面 积的函数关系式需要知道平行四边形MNPQ 两邻边的长及其夹角,夹角就是异面直线AC、 BD 所成的角 ,两邻边的长表示不出来.虽然 MN 与 AC 有个关系, NP 与 BD 也有个关系, 但表示不出平行四边形的边长来. 师不错 .生丙同学前面的分析很
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