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1、长沙市一中2019 届高三月考试卷(五) 数学(理科 ) 长沙市一中高三理科数学备课组组稿 时量: 120 分钟满分: 150 分 (考试范围:集合、逻辑、算法、函数、导数、三角函数、平面向量与复数、数列、 推理与应用、不等式、不等式证明、计数原理、二项式定理、概率) 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共6 页。时量120 分钟。满分150 分。 一、选择题:本大题共8 小题,每小题5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A2,0,1 ,集合 Bx|x|0,x a x 2 的充分必要条件”,命题q:“x0R,x 2 0 x020”,则下
2、列命题正确的是 ( ) A.命题“ pq”是真命题 B.命题“ p(q)”是真命题 C.命题“ ( p)q”是真命题 D.命题“ (p)(q)”是真命题 5.已知 cos( 6 ) 3 3 ,则 sin( 5 6 2 )的值为 ( ) A. 1 3 B. 1 3 C.2 3 D. 2 3 6.已知函数f(x)2 a(x2) 则 f(log45)等于 (B) f(x+2)(x0) 的最小正周期为 4 . (1)求正实数的值; (2)在 ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c,且满足 2bcosAacosCccosA, 求 f(A) 的值 . 18.(本小题满分12 分) 已知数列
3、an的前三项与数列 bn的前三项对应相等,且a12a22 2a 3 2 n1 an 8n 对任意的nN * 都成立,数列 bn1bn 是等差数列 . (1)求数列 an与 bn的通项公式; (2)是否存在kN * ,使得 bkak (0,1)?请说明理由 . 19.(本小题满分13 分) 某化工厂生产某种产品,每件产品的生产成本是3 元,根据市场调查, 预计每件产品的 出厂价为x 元(7x10)时,一年的产量为(11x)2万件;若该企业所生产的产品全部销售, 则称该企业正常生产;但为了保护环境,用于污染治理的费用与产量成正比,比例系数为常 数 a(1a3). (1)求该企业正常生产一年的利润L
4、(x)与出厂价x 的函数关系式; (2)当每件产品的出厂价定为多少元时,企业一年的利润最大,并求最大利润. 20.(本小题满分13 分) 设函数 yf(x)的定义域为 (0, ) ,且在 (0, ) 上单调递增,若对任意x,y(0, ) 都有: f(xy)f(x)f(y)成立,数列 an满足: a1f(1)1,f( 1 2an1 1 2an)f( 1 2an1 1 2an) 0.设 Sna 2 1a 2 2a 2 2a 2 3a 2 3a 2 4 a 2 n1a 2 na 2 na 2 n1. (1)求数列 an的通项公式,并求Sn关于 n 的表达式; (2)设函数g(x)对任意 x、y 都有
5、: g(xy)g(x)g(y)2xy,若 g(1)1,正项数列 bn 满足: b2 ng( 1 2 n),Tn为数列 bn 的前 n 项和,试比较 4Sn与 Tn的大小 . 21.(本小题满分13 分) 定义 F(x,y)(1x)y,其中 x,y(0, ). (1)令函数f(x)F(1,log2(x 3ax2bx1),其图象为曲线 C,若存在实数b 使得曲线 C 在 x0(4F(y, x). 数学(理科 ) 答案 一、选择题 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案A C D C B B C D 二、填空题: 9.f(x)x 1 2 10.111.(28,5712.113.0,4 14. 93
6、 4 15.2m3. 三、解答题:本大题共6 小题,共75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12 分) 解: (1)每次取到一只次品的概率P1 C 1 3 C 1 12 1 4, 则有放回连续取3 次,其中2 次取得次品的概率PC 2 3(1 4) 2 (1 1 4) 9 64.(5 分) (2)依题知 X 的可能取值为0、 1、2、3.(6 分) 且 P(X0) 9 12 3 4, P(X1) 3 12 9 11 9 44, P(X2) 3 12 2 11 9 10 9 220, P(X3) 3 12 2 11 1 10 9 9 1 220.(8 分) 则 X
7、 的分布列如下表: X 0 1 2 3 P 3 4 9 44 9 220 1 220 (10 分) EX0 3 41 9 442 9 2203 1 220 3 10.(12 分) 17.(本小题满分12 分) 解: (1)f(x) 2sinx(cosxcos 6sinx sin 6) 1 2(2 分) 3sinx cosx sin2x 1 2 3 2 sin2x 1 2(1cos2 x) 1 2sin(2x 6).(5 分) 又 f(x) 的最小正周期T 2 2 4 ,则 1 4.(6 分) (2)由 2bcosAacosCccosA 及正弦定理可得2sinBcosAsinAcosC sinC
8、cosAsin(A C). 又 ABC ,则 2sinBcosAsinB.(8 分) 而 sinB0 ,则 cosA 1 2.又 A(0, ),故 A 3.(10 分) 由(1)f(x) sin(x 2 6),从而 f(A) sin( 3 1 2 6)sin 3 3 2 .(12 分) 18.(本小题满分12 分) 解: (1)已知 a12a2 2 2a 3 2 n1a n8n(nN *). n2 时, a1 2a22 2a 32 n2a n1 8(n1)(nN * ). 得 2n 1a n 8,解得 an2 4n,在中令 n 1,可得 a1824 1, 所以 an2 4n(nN*).(4 分
9、) 由题意 b18,b24,b32,所以 b2b1 4,b3b2 2, 数列 bn1bn的公差为 2(4)2, bn1bn 4(n1) 22n 6, bnb1(b2b1)(b3b2)(bn bn1) 8(4)(2)(2n8)n27n14(nN * ).(8 分) (2)bkakk 27k14 24k,当 k4 时, f(k)(k7 2) 27 42 4k 单调递增, 且 f(4)1,所以 k4 时, f(k)k27k1424 k1. 又 f(1)f(2) f(3)0,所以,不存在kN *,使得 b kak(0,1).(12 分) 19.(本小题满分13 分) 解: (1)依题意, L(x)(x
10、3)(11x)2a(11x)2 (x 3a)(11x)2,x7,10.(4 分) (2)因为 L(x)(11x) 22(x 3a)(11x)(11x)(11x 2x6 2a) (11x)(172a3x). 由 L(x)0,得 x7,10 或 x 17 2a 3 .(6 分) 因为 1a 3,所以 19 3 172a 3 23 3 . 当 19 3 17 2a 3 7,即 1a 2 时, L(x)在7,10 上恒为负,则L(x)在7,10 上为减函 数,所以 L(x)maxL(7)16(4a).(9 分) 当 70, bn 1 2 n,(9 分) Tn 1 2 1 2 2 1 2 n1 1 2
11、n,又 4Sn1 1 4n1. 当 n1,2,3,4 时, 4n12n, 4SnTn; (10 分) 当 n5 时, 2nC0 nC 1 n C 2 nC n1 n Cn n12n2n(n 1) 2 1n2n. 而 n2n1 (4n1)n23nn(n3)0,故 4Sn0,f(x)3x22axb, 3x 2 0+2ax0+b=-8 存在实数b 使得-40 由得 b 83x 2 0 2ax0,代入得 2x 2 0ax080 有解, -40 或 2 (1)2a ( 1)80, a0, 1 x0lnx010, g(x0)( 1 x0lnx01)ex0110.(8 分) 曲线 yg(x)在点 xx0处的切线与y 轴垂直等价于方程g(x0)0 有实数解 . 而 g(x0)0,即方程 g(x0)0 无实数解 . 故不存在实数x01,e,使曲线yg(x)在点 xx0处的切线与y 轴垂直 .(9 分) (3)证明:令h(x)ln(1x) x ,x1,由 h(x) x 1 xln(1x) x 2, 又令 p(x) x 1x ln(1 x), x0, p(x) 1 (1x) 2 1 1x x (1x) 20, p(x)在0, ) 上单调递减, 当 x0 时,有 p(x)ln(1y) y , yln(1x)xln(1y), (1 x)y(1 y)x, 当 x, yN,且 xF(y, x).(13 分)
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