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1、圆与方程预习提纲 1圆的标准方程: 2圆的一般方程: 3直线与圆的位置关系的判断: 4圆与圆的位置关系的判断: 圆与方程教案 例 1:已知两点P1(4,9)和 P2(6,3) ,求以 P1P2为直径的圆的方程,并且判断点 M(6,9) ,N(3,3) ,Q(5,3)是在圆上,在圆内,还是在圆外。 例 2:圆 x 2 + y2 4 与圆( x3) 2 +(y4)2 16 的位置关系。 例 3:求以 C(1,3)为圆心,并且和直线3x4y7=0 相切的圆的方程. 例 4:过点 A(3,1)和 B( 1,3) ,且它的圆心在直线3xy2 0 上的圆的方程。 例 5:求半径为10,和直线4x3y700
2、 切于点( 10, 10)的圆的方程。 例 6:已知圆的方程是x 2+y2 =r 2,求经过圆上一点 M(x0 , y 0)的切线的方程. 例 7:求过点A( 2,4)向圆 x 2 + y 2 4 所引的切线方程。 例 8:两直线分别绕A(2,0) ,B( 2,0)两点旋转,它们在y 轴上的截距b,b的乘积 bb 4,求两直线交点的轨迹。 例 9:已知一圆与y 轴相切,圆心在直线l:x 3y = 0 上,且被直线yx 截得的弦AB 长为 2 7 ,求圆的方程。 例 10:求过三点O(0,0) 、M1(1,1) 、M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径和圆心 坐标 . 例 11:已知一曲线是
3、与两个定点O(0,0) 、A(3,0)距离的比为 2 1 的点的轨迹,求此曲线 的方程,并画出曲线. 例 12:已知曲线C: (1a)x 2(1a)y 24x8ay0, (1)当 a 取何值时,方程表示圆; (2)求证:不论a 为何值,曲线C 必过两定点; (3)当曲线C 表示圆时,求圆面积最 小时 a的值。 例 13:已知圆x 2 + y 21,求过点 P(a,b)的圆的切线方程。 例 14:已知圆方程为x 2 + y24x2y 200, (1)斜率为4 3 的直线 l 被圆所截线段长 为 8,求直线方程; ( 2)在圆上求两点A 和 B,使它们到直线l: 4x3y19 0 的距离 分别取得
4、最大值或最小值。 例 15:自点 A( 3,3)发出的光线l 射到 x 轴上,被x 轴反射,其反射光线所在直线与圆 x 2 + y24x 4y7 0 相切,求光线 l 所在直线的方程。 圆与方程教案 例 1:已知两点P1(4,9)和 P2(6,3) ,求以 P1P2为直径的圆的方程,并且判断点 M(6,9) ,N(3,3) ,Q(5,3)是在圆上,在圆内,还是在圆外。 解:根据已知条件,圆心C( a,b)是 P1P2的中点,那么它的坐标为: a46 2 5,b 93 2 6 再根据两点的距离公式,得圆的半径是: r CP1(45) 2 +(96)2 10 所求圆的方程是: (x5) 2 +(y
5、6) 2 10 CM10 , CN13 10 , CQ 310 点 M 在圆上,点Q 在圆内,点N 在圆外 . 例 2:圆 x 2 + y2 4 与圆( x3) 2 +(y4)2 16 的位置关系。 解:圆心距5r1r26 两圆相交 例 3:求以 C(1,3)为圆心,并且和直线3x4y7=0 相切的圆的方程. 解:因为圆C 和直线 3x4y7=0 相切,所以半径r 等于圆心C 到这条直线的距离. 根据点到直线的距离公式,得 5 16 )4(3 73413 22 r 因此,所求的圆的方程是. 25 256 )3()1( 22 yx 说明:例3 中用到了直线和圆相切的性质,即圆心与切点连线垂直于切
6、线且等于半径. 例 4:过点 A(3,1)和 B( 1,3) ,且它的圆心在直线3xy2 0 上的圆的方程。 解:设圆的方程为(xa) 2 +( yb)2 r 2 则: (3a) 2 +(1 b)2 r 2, ( 1a)2 +(3 b)2 r 2,3ab2 0 解法二:线段AB 的中点坐标是(1,2) 则 kAB 31 13 1 2 所以,线段AB 的垂直平分线方程为: y22(x1)即: 2xy 0 由 2xy0 3xy20 得圆心坐标为C(2,4) ,又 r AC10 圆的方程是: (x2) 2 +( y4)2 10 例 5:求半径为10,和直线4x3y700 切于点( 10, 10)的圆
7、的方程。 解:设圆心坐标为C(x 0,y 0) ,则 y 0 10 x 0 10 ( 4 3 ) 1 (x 010) 2 +(y 010) 2 100 解得: x 02,y 04 或 x 018,y 016 所求圆的方程是: (x2) 2 +(y4)2 100 或( x18) 2 +(y16) 2 100 例 6:已知圆的方程是x 2+y2 =r 2,求经过圆上一点 M(x0 , y 0)的切线的方程 . 解:设切线的斜率为k,半径 OM 的斜率为 k1,因为圆的切线垂直于过切点的半径, 于是 k= 1 1 k 0 0 0 0 1 , y x k x y k. 经过点 M 的切线方程是:)(
8、0 0 0 0 xx y x yy 整理得: 2 0 2 000 yxyyxx 因为点 M(x0,,y0)在圆上,所以 22 0 2 0 ryx 所求切线方程为: 2 00 ryyxx 当点 M 在坐标轴上时,上述方程同样适用. 例 7:求过点A( 2,4)向圆 x 2 + y 2 4 所引的切线方程。 解法一:设切线方程为y4k(x 2) 即 kxy4 2k0 由 kxy42k0 x 2 + y 2 4 得: (k 2 1)x 24k(2 k)x4k 216k120 由 0 得: k 3 4 又:当过点A 并且与 y 轴平行的直线恰与圆相切 所求切线方程为: x2 或 3x4y100 解法二
9、:设切线方程为kx y42k0 则: 42k k 21 2 得: k3 4 又:当过点A 并且与 y 轴平行的直线恰与圆相切 所求切线方程为: x 2或 3x4y100 解法三:设切点为(x 0,y 0) ,则: x 0xy0y4 2x 0 4y04 又: x0 2 + y 0 24 x 0 2,y 00 或 x 0 6 5 ,y 0 8 5 得切线方程: x2 或 3x4y100 例 8:两直线分别绕A(2,0) ,B( 2,0)两点旋转,它们在y 轴上的截距b,b的乘积 bb 4,求两直线交点的轨迹。 解:设 M( x,y)为两直线l1、l2的交点 则有 l1: x 2 y b = 1,
10、l2: x 2 y b = 1 得: b 2y 2x ,b 2y 2x bb 2y 2x 2y 2 x 4 x 2 + y 2 4(y0) 例 9:已知一圆与y 轴相切,圆心在直线l:x 3y = 0 上,且被直线yx 截得的弦AB 长为 2 7 ,求圆的方程。 解:设圆心C(3a,a) 圆与 y 轴相切r3 a 又: CD 3aa 2 2 aBD 1 2 AB7 由勾股定理得:a 1 所求圆的方程为: (x3) 2 +(y1)2 9 或( x3) 2 +( y1)2 9 例 10:求过三点O(0,0) 、M1(1,1) 、M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径和圆心 坐标 . 解:设所求
11、圆的方程为0 22 FEyDxyx 用待定系数法,根据所给条件来确定D、E、F、 因为 O、M1、M2在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标依次代入上面的方程, 可得 02024 02 0 FED FED F 解得 0 6 8 F E D 于是所求圆方程为:x 2+y28x+6y=0 化成标准方程为: (x4) 2 +y(3) 2 =5 2 所以圆半径r=5,圆心坐标为(4, 3) 说明 :如果由已知条件容易求得圆心的坐标、半径或需利用圆心的坐标列方程的问题,一般 采用圆的标准方程,如果已知条件和圆心坐标或半径都无关,一般采用圆的一般方程。 例 11:已知一曲线是与两个定点O(0,0)
12、 、A(3,0)距离的比为 2 1 的点的轨迹,求此曲线 的方程,并画出曲线. 解:在给定的坐标系里,设点M(x,y)是曲线上的任意一点,也就是点M 属于集合 . . 2 1 | | | AM OM MP 由两点间的距离公式,点M 所适合的条件可以表示为 2 1 )3( 22 22 yx yx , 将式两边平方,得 4 1 )3( 22 22 yx yx 化简得 x 2 +y 2+2x3=0 化为标准形式得: (x+1) 2+y2=4 所以方程表示的曲线是以C( 1,0)为 圆心, 2 为半径的圆。 说明 :到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆。 例 12:已知曲线C: (1a)x 2(1a)
13、y 24x8ay0, (1)当 a 取何值时,方程表示圆; (2)求证:不论a 为何值,曲线C 必过两定点; (3)当曲线C 表示圆时,求圆面积最 小时 a的值。 解: ( 1)当 a 1 时,方程为x2y 0,为一直线; 当 a 1 时, (x 2 1a ) 2 +(y4a 1a ) 2 416a 2 (1a) 2表示圆。 (2)方程变形为:x 2 + y 2 4x a(x2 + y2 + 8y ) 0 C 过定点 A(0,0) , B( 16 5 , 8 5 ) (3)以 AB 为直径的圆面积最小(为什么?) 得圆的方程: (x8 5 ) 2 +(y4 5 ) 2 16 5 2 1a 8
14、5 , 4a 1a 4 5 , 4 16a 2 (1a) 2 16 5 解得: a 1 4 例 13:已知圆x 2 + y 21,求过点 P(a,b)的圆的切线方程。 解: ( 1)当 P 在圆内,即a 2 + b 2 1 时,无切线方程; (2)当 P 在圆上,即a 2 + b 21 时,方程为: axby1; (3)当 P 在圆外,即a 2 + b 21 时,设直线方程为 ybk(xa) , 即kxykab0 由 d k00kab k 21 1,得 (a 21)k 22abkb2 10 当 a 1 时, kab a 2b2- 1 a 21;当 a 1 时, k b 21 2b 当 a 1
15、时, y bab a 2b2- 1 a 21(xa) 当 a1 时, ybb 21 2b (x1)或 x1 当 a 1 时, y b b 2 1 2b (x1)或 x 1 例 14:已知圆方程为x 2 + y24x2y 200, (1)斜率为4 3 的直线 l 被圆所截线段长 为 8,求直线方程; ( 2)在圆上求两点A 和 B,使它们到直线l: 4x3y19 0 的距离 分别取得最大值或最小值。 解: ( 1)设所求方程为:y 4 3 xb,圆的方程可化为: (x2) 2( y1)2 25 圆心 C(2, 1) ,半径 r5 圆心到直线的距离为:d 42313b 5 113b 5 3 b 4
16、 3 或 b26 3 所求直线方程为:y 4 3 x 4 3 或 y 4 3 x 26 3 即: 4x3y40 或 4x 3y260 (2)解法一:设l l 且 l与圆相切,则所述距离即为l与 l 间的距离,切点即为所 求点。 设 l: 4x3ym0 则由: 4x3ym0 x 2 + y 24x2y 200得: 25x 2 4(2m3) xm 26m 1800 16(2m3) 2100( m 26m180) 0 得: m14 或 m 36 又: x 4(2m 3) 2 25 2(3 2m) 25 x 2(m14 时)或 x6( m 36 时) 得 A( 2, 2) , B(6,4) 解法二:过
17、圆心作与直线l 垂直的直线l与圆交于A、B 两点即为所求。 kl 4 3 k l3 4 l: y1 3 4 (x2)即: 3x4y2 0 由 3x4y20 x 2 + y2 4x2y200 解出 x、y 即为 A、B 坐标 例 15:自点 A( 3,3)发出的光线l 射到 x 轴上,被x 轴反射,其反射光线所在直线与圆 x 2 + y24x 4y7 0 相切,求光线 l 所在直线的方程。 解:圆的方程可化为(x 2) 2( y2)21 所以圆心C(2, 2) ,半径 r1 设直线 l 的斜率为 k,则 l:y3k(x3)且反射光线l的斜率为k k, 又 l 交 x 轴于( 3 k 3,0) 所以,反射光线方程为:y k(x3 k 3) 即: k xy33 k0 圆心到 l的距离 5 k5 k 2 1 1 得: k 4 3 或 k 3 4 所以,所求直线l 的方程为: y3 4 3 (x3)或y3 3 4 (x3) 即: 4x3y30或 3x4y 30
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