高三数学教案:第四节函数的连续性及极限的.pdf
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1、第四节函数的连续性及极限的应用 1.函数在一点连续的定义: 如果函数 f(x)在点 x=x0处有定义, 0 lim xx f(x)存在,且 0 lim xx f(x)=f(x0), 那么函数f(x)在点 x=x0处连续 . 2.函数 f(x)在点 x=x0处连续必须满足下面三个条件 . (1)函数 f(x)在点 x=x0处有定义; (2) 0 lim xx f(x)存在; (3) 0 lim xx f(x)=f(x0),即函数f(x)在点 x0处的极限值等于这一点的函数值 . 如果上述三个条件中有一个条件不满足,就说函数f(x)在点x0处不连续 .那根据这三个 条件,我们就可以给出函数在一点连
2、续的定义 3.函数连续 性的 运算: 若 f(x) , g(x) 都在点 x0处连续,则f(x)g(x) ,f(x) ?g(x) , )( )( xg xf (g(x)0)也在点 x0处连续。 若 u(x) 都在点 x0处连续, 且 f(u)在 u0=u(x0)处连续 ,则复合函数 fu(x) 在点 x0处连续。 4.函数 f(x)在(a, b)内连续的定义: 如果函数 f(x)在某一开区间 (a,b)内每一点处连续,就说函数f(x)在开区间 (a,b)内连续, 或 f(x)是开区间 (a,b)内的连续函数. f(x)在开区间 (a,b)内的每一点以及在a、b 两点都连续,现在函数f(x)的定
3、义域是 a, b ,若在 a 点连续,则f(x)在 a 点的极限存在并且等于f(a),即在 a 点的左、右极限都存在, 且都等于f(a), f(x)在(a,b)内的每一点处连续,在a 点处右极限存在等于f(a),在 b 点处左 极限存在等于f(b). 5.函数 f(x)在 a,b上连续的定义: 如果 f(x)在开区间 (a,b)内连续,在左端点x=a 处有 ax lim f(x)=f(a),在右端点x=b 处有 bx lim f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间 a,b上连续 ,或 f(x)是闭区间 a,b上的连续函 数. 6. 最大值最小值定理 如果 f(x)是闭区间 a,b上的连续
4、函数,那么f(x)在闭区间 a,b上有最大值和最 小值 7.特别注意:函数f(x) 在 x=x0处连续与函数 f(x)在 x=x 0处有极限的联系与区别。 “连续必 有极限,有极限未必连续。” 二、问题讨论 点击双基 1.f(x)在 x=x0处连续是 f( x)在 x=x0处有定义的 _条件 . A.充分不必要B.必要不充分 C.充要D.既不充分又不必要 解析: f( x)在 x=x0处有定义不一定连续. 答案: A 2.f(x) = x x cos cos 的不连续点为 A.x=0 B.x= 12 2 k (k=0, 1, 2, ) C.x=0 和 x=2k( k=0,1,2, ) D.x=
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- 数学教案 第四 函数 连续性 极限
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