高三数学教案:轨迹方程.pdf
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1、第五节轨迹问题 基本知识概要: 一、求轨迹的一般方法: 1直接法: 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,易于表 述成含 x,y 的等式, 就得到轨迹方程,这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹一般有 建系 , 设点,列式,化简,证明五个步骤,最后的证明可以省略,但要注意“挖”与“补”。 2定义法: 运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义),可从曲线定义出发直接 写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程。 3. 代入法: 动点所满足的条件不易表述或求出,但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点 Q(x , y ) 的运动而有规律的运动,且动点
2、Q的轨迹为给定或容易求得,则可先将x ,y 表示 为 x,y 的式子,再代入Q的轨迹方程,然而整理得P 的轨迹方程,代入法也称相关点法。 4. 参数法: 求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系,则可借助中间 变量(参数) ,使 x,y 之间建立起联系,然而再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方 程。 5. 交轨法: 求两动曲线交点轨迹时,可由方程直接消去参数,例如求两动直线的交点时常用 此法, 也可以引入参数来建立这些动曲线的联系,然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参 数法的一种变种。 6. 几何法: 利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质,发现动点运动规律和动点满足的
3、条件,然而得出动点的轨迹方程。 7. 待定系数法:求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求。 8.点差法: 求圆锥曲线中点弦轨迹问题时,常把两个端点设为),(),( 2211 yxByxA并代入圆 锥曲线方程,然而作差求出曲线的轨迹方程。 二、注意事项: 1直接法是基本方法;定义法要充分联想定义、灵活动用定义;代入法要设法找到关系式 x =f(x,y), y =g(x,y);参数法要合理选取点参、角参、斜率参等参数并学会消参;交轨法 要选择参数建立两曲线方程再直接消参;几何法要挖掘几何属性、找到等量关系。 2要注意求得轨迹方程的完备性和纯粹性。在最后的结果出来后,要注意挖去或补上一些
4、 点等。 【典型例题选讲】 一、直接法题型: 例 1 已知直角坐标系中,点Q(2,0) ,圆 C 的方程为1 22 yx,动点 M 到圆 C 的切 线长与MQ 的比等于常数)0(,求动点M 的轨迹。 解: 设 MN 切圆 C 于 N,则 222 ONMOMN。设),(yxM,则 2222 )2(1yxyx化简得0)41(4)(1( 22222 xyx (1)当1时,方程为 4 5 x,表示一条直线。 (2)当1时,方程化为 22 2 22 2 2 )1( 31 ) 1 2 (yx表示一个圆。 说明:求轨迹方程一般只要求出方程即可,求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。 练习: (待定系数
5、法题型)在PMN中,2tan, 2 1 tanMNPPMN,且PMN的 面积为 1,建立适当的坐标系,求以M,N 为焦点,且过点P 的椭圆方程。 解答过程参考教材P129 页例 1。 二、定义法题型: 例 2 如图,某建筑工地要挖一个横截面为半圆的柱形土坑,挖 出的土只能沿AP 、 BP运到 P处, 其中 AP=100m , BP=150m , APB=60 0, 问怎能样运才能最省工? 解: 半圆上的点可分为三类:一是沿AP到 P较近,二是沿BP到 P较近,三是沿AP或 BP一样近。其中第三类的点位于前两类的 分界线上,设M为分界线上的任一点,则有 BPMBAPMA ,即 75050ABPA
6、PBMBMA,故 M在以 A, B 为焦点的双曲线的右支上。建立如图直角坐标系,得边界的方程 为)25(1 3750625 22 x yx , 故运土时为了省工,在双曲线弧左侧 的土沿 AP运到 P处,右侧的土沿BP运到 P处,在曲线上面的土 两边都可运。 说明: 利用双曲线的定义可直接写出双曲线方程。 练习:已知圆 O的方程为 x 2+y2 =100,点 A 的坐标为( -6 ,0) ,M为圆 O上任一点, AM的垂 直平分线交OM于点 P,求点 P的方程。 解:由中垂线知,PMPA故10OMPOPMPOPA,即 P 点的轨迹为 以 A、O 为焦点的椭圆,中心为(-3 ,0) ,故P 点的方
7、程为 125 1625 )3( 22 yx 三、代入法题型: 例 3 如图,从双曲线 x 2 -y 2=1上一点 Q引直线 x+y=2 的垂线, 垂足为 N。求线段QN的中点 P的轨迹方程。 解: 设动点 P的坐标为( x,y ), 点 Q的坐标为( x1,y 1) 则 N ( 2x-x1,2y-y1) 代入 x+y=2, 得 2x-x1+2y-y1=2 又 PQ垂直于直线x+y=2,故1 1 1 xx yy ,即 x-y+y1-x1=0 由解方程组得1 2 3 2 1 ,1 2 1 2 3 11 yxyyxx, 代入双曲线方程即可得P 点的轨 迹方程是2x 2 -2y 2 -2x+2y-1=
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