高三数学试题:.互斥事件有一个发生的概率.pdf
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1、第二节互斥事件有一个发生的概率 一、基本知识概要: 1、互斥事件:如果事件A 与 B 不能同时发生(即A 发生 B 必不发生或者B 发生 A 必不发生),那 么称事件A, B 为互斥事件(或称互不相容事件)。如果事件A1, A2,, n A中任何两个都是互斥 事件,那么称事件A1,A2,, An 彼此互斥。 互斥事件的概率加法公式:如果事件A, B 互斥,那么P(A+B)=P( A) +P( B) ; 如果事件A1,A2,, n A彼此互斥,则P(A1+A2+, + nA )=P(A1)+P(A2)+,+P( nA ) ; 2、对立事件:如果事件A 与 B 不能同时发生,且事件A 与 B 必有
2、一个发生,则称事件A 与 B 互 为对立事件,事件A 的对立事件通常记作 A 。 对立事件A与A的概率和等于1,即: P(A) +P(A) =P(A+A)=1; 注: 对立事件是针对两个事件来说的,一般地说,两个事件对立是这两个事件互斥的充分条件,但 不是必要条件。 3、事件的和事件:对于事件A 与 B,如果事件A 发生或事件B 发生,也即A, B 中有一个发生 称为事件A 与 B 的和事件。记作:A+B,此时 P(A+B )=P(A)+P( B)BAP; 4、从集合的角度来理解互斥事件,对立事件及互斥事件的概率加法公式: 设事件 A与 B 它们所含的结果组成的集合分别是A, B。 若事件 A
3、与 B 互斥,即集合BA, 若事件 A 与 B对立,即集合BA且UBA,也即:BCA U 或ACB U ,对互斥事件 A+B (即事件A发生或事件B 发生)即可理解为集合BA。有等可能事件的概率公式知: )( )()( )( )( )( )( )( Ucard BcardAcard Ucard BAcard Ucard BAcard BAP = )( )( Ucard Acard + )( )( Ucard Bcard =P(A)+P( B) 二、重点难点: 互斥事件的概念和互斥事件的概率加法公式是重点;互斥事件、对立事件的概念及 二者的联系与区别及应用是难点。 三、思维方式: 在求某些稍复杂
4、的事件的概率时通常有两种方法:一是将所求事件的概率分化成一 些彼此互斥的事件的概率的和;二是先求出此事件的对立事件的概率,即用逆向思维法。正难 则反的思想。 四、特别注意:互斥事件、对立事件的区别。 五、例题: 例 1: 从装有2 个红球和2 个白球的口袋内任取2 个球,那么互斥而不对立的两个事件是( C ) A.至少有 1 个白球,都是白球 B至少有 1 个白球,至少有1 个红球, C恰有 1 个白球,恰有2 个白球, D 至少有 1 个白球,都是红球。 在所有的两未数(1099)中,任取一个数,则这个数能被2 或 3 整除的概率是( C ) A 6 5 B 5 4 C 3 2 D 2 1
5、从编号为1,2,3,4, 5,6,7,8,9,10 的十个球中,任取5 个球,则这5 个球的编号之 和为奇数的概率是( 2 1 ) 8 个篮球队中有2 个强队,先任意将这8 个队分成两个组(每组4 个队)进行比赛,则这两个 强队被分在一个组内的概率是; 解法一: 2 个强队分在同一组,包括互斥的两种情况:2 个强队都分在A 组和都分在B 组。2 个强队 都分在 A 组,可看成“从8 个队中抽取4 个队,里面包括2 个强队”这一事件,其概率为 4 8 2 6 C C ;2 个强队都分在B 组,可看成“从8 个队中抽取4 个队,里面没有强队”这一事件,其概率为 4 8 4 6 C C ; 因此 2
6、 个强队分在同一个组的概率为 7 3 4 8 4 6 4 8 2 6 C C C C P。 解法二:“2 个强队分在同一个组”这一事件的对立事件“2 个组中各有一个强队” ,而两个组中各有 一个强队,可看成“从8 个队中抽取4 个队,里面恰有一个强队”,这一事件,其概率为 4 8 3 6 1 2 C CC ,因 此 2 个强队分在同一个组的概率为: 7 3 7 4 11 4 8 3 6 1 2 C CC P。 思维点拨: 正确理解互斥事件、对立事件的概念。 例 2: (1)今有标号为1,2, 3,4,5 的五封信,另有同样标号的五个信封,现将五封信任意地装 入五个信封,每个信封装入一封信,试求
7、至少有两封信配对的概率。 解: 设恰有 2 封信配对为事件A,恰有 3 封信配对为事件B,恰有 4 封信(也即5 封信配对)为事 件 C,则“至少有2 封信配对”事件等于A+B+C 且 A、 B、C 两两互斥。 5 5 5 5 3 5 5 5 2 5 1 )(,)(, 2 )( A CP A C BP A C AP, 所求概率为 120 31 )()()(CPBPAP 答: 至少有两封信配对的概率是 120 31 。 (2)有三个人,每个人都以相同的概率被分配到四个房间中的每一间,求 三个人都被分配到同一个房间的概率;至少有二人分配到同一房间的概率。 解: 16 1 444 4 )( AP。
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