高三数学重点难点:函数的极限.pdf
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1、第三节函数的极限 一、知识归纳 1、知识精讲: 1)当 x时函数f(x)的极限 : 当自变量 x 取正值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a, 就说当 x 趋向于正无穷 大时 , 函数 f(x) 的极限是a, 记作 axf x )( lim ,( 或 x+时 ,f(x)a) 当自变量 x 取负值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a, 就说当 x 趋向于负无穷 大时 , 函数 f(x) 的极限是a, 记作 axf x )( lim ,( 或 x- 时 ,f(x)a) 注:自变量x +和 x- 都是单方向的,而x是双向的,故有以下等价命题 )( lim xf x a
2、xf x )( lim axf x )( lim 2)当 xx0时函数 f(x)的极限 : 当自变量x 无限趋近于常数x0(但 xx0)时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x 趋向于 x0时, 函数 f(x)的极限是a, 记作 axf xx )( lim 0 ,( 或 xx0时,f(x)a) 注: axf xx )( lim 0 与函数 f (x)在点 x0处是否有定义及是否等于f (x0)都无关。 3)函数 f(x)的左、右极限 : 如果当 x 从点 x=x0左侧(即 xx0)无限趋近于x0时,函数 f(x)无限趋近于常数a。就说 a 是函 数 f(x) 的左极限,记作 axf
3、xx )( lim 0 。 如果当 x 从点 x=x0右侧(即 xx0) 无限趋近于x0时,函数 f(x)无限趋近于常数a。 就说 a 是函数 f(x) 的右极限,记作 axf xx )( lim 0 。 注: )( lim 0 xf xx axf xx )( lim 0 axf xx )( lim 0 。并且可作为一个判断函数在一点处有无极限的重要工 具。 注:极限不存在的三种形态:左极限不等于右极限 )( lim 0 xf xx )( lim 0 xf xx ; 0 xx 时,xf, 0 xx 时,xf的值不唯一。 4)函数极限的运算法则: 与函数极限的运算法则类似, 如果,lim,lim
4、BbAa n n n n 那么 BAba nn n )(limBAba nn n )(l i m BAba nn n .).(lim)0(l i mB B A b a n n n 注:以上规则对于x的情况仍然成立。 2、重点难点:对函数极限的定义的理解及求简单函数的极限的重点。思维方法:直接从常用的重要 极限出发,运用函数极限的运算法则解题。 3. 几个重要极限: (1)0 1 lim n n (2)CC n lim(C是常数) (3)无穷等比数列 n q(1q)的极限是0,即)1(0limqq n n 例 1求下列各极限 2 2 0 2 41 (1)lim() 42 (2) lim()()
5、(3)lim cos (4) lim cossin 22 x x x x xx xaxbx x x x xx 解: (1) 原式 = lim 2x 4 1 2 1 x (2) 原式 = x lim ba xabxbax abxba )( )( 2 (3) 因为1 | lim 0 x x x ,而1 | lim 0 x x x , | lim 0 x x x | lim 0 x x x ,所以 | lim 0 x x x 不存在。 (4) 原式 = 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos lim 22 2 xx xx x =2) 2 sin 2 (coslim 2 xx x (5)0)
6、3 1 (lim x x ,但x时, x ) 3 1 (+。可知x时, lim x x ) 3 1 (不存在。 【思维点拨】解此类问题常用的手段是“消因子”与“因式有理化”。 第( 5)小题易与数列极限 lim n n ) 3 1 (相混,数列极限中n特指n,而函 数极限中的x包括了x与x。 例 2求下列极限: 2222 35721 (1)lim() 1111 n n nnnn ; 1 1 . 1242 (2)lim() 1393 n n n 解: (1)) 1 12 1 7 1 5 1 3 (lim 2222 n n nnn n 2 222 2 23(21) 1 3 57(21)2 2 li
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