高三第一轮复习讲义【18】-反三角及最简三角方程.pdf
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1、2018 届高三第一轮复习讲义【18】-反三角及最简三角方程 一、知识梳理: 1反三角函数的图像和性质 【提醒】常用关系式 (1)arcsinarcsin ,1,1xx xsi n ar c s i n,xx1, 1x arcsin sin,xx x , 22 (2)arccosarccos ,1,1xx xcos arccos,xx1,1x arccos cos,xx x0, (3) Rxxx,arctan)arctan(tan arctan , x xR arctan tan, 22 xx x 反三角函数 arcsinyxarccosyx arctanyx 图像 定义域1,11,1, 值域
2、, 22 0, 2 2 奇偶性奇函数非奇非偶奇函数 单调性增函数减函数增函数 2 最简三角方程的解集,见下表: 方程方程的解集 sin xa 1a 1a 2arcsin ,x xka kZ 1a( 1) arcsin, k x xka kZ cosxa 1a 1a 2arccos ,x xka kZ 1a2arccos ,x xka kZ tan xaarctan ,x xka kZ 【注意】 特别注意反三角函数自身的定义域和值域, 要通过诱导公式进行转化,然后再借助于反三角 求解 . 例:求sin , 2 yx x 上的反函数时,先算 sinyx . 二、基础检测: 1用反三角函数值的形式表
3、示下列各式中的角: (1) 1 sin, 322 xxx; 1 sin,0, 4 xxx . (2) 1 cos,0, 4 xxx; 1 cos,0, 5 xxx (3) 在ABC中, 1 sin,tan2, 4 ABA;B 2函数sin , 24 yx x的反函数是. 3.(1) 函数arcsin(35)yx的定义域是 (2) 若 13 , 22 x,则arccosyx的值域是 . 4. 方程2sin1x,当,x时的解集是 . 5.2sin()1 2 x的解集是 . 6.tan()1 12 x的解集是 . 三、例题精讲: 【例 1】下列命题正确的是() A函数ysinx与函数yarcsinx
4、互为反函数 B函数ysinx与函数yarcsinx都是增函数 C函数 ysinx与函数yarcsinx都是奇函数 D函数ysinx与函数yarcsinx都是周期函数 【解析】C 【例 2】已知,xR则 2 (1)1x xarccosxx的值为 【解析】 0; 【例 3】若 6 5 , 3 (arccosx,则x的取值范围是 【解析】) 2 1 , 2 3 ; 【例 4】求下列反三角函数的值: (1)1arcsin;(2) 2 2 arccos(;(3)3arctan( 【解析】 (1) 2 ;(2) 4 3 ;(3) 3 【例 5】函数( )|arcsin|arccosfxxxabx是奇函数的
5、充要条件是( ) A 22 0abB0abCabD0ab 【解析】A 【例 6】研究函数)arcsin(sin)(xxf的性质 【解析】 函数的定义域为R 因为)()arcsin(sin)2(arcsinsin)2(xfxxxf, 所以)arcsin(sin)(xxf是周期为2的周期函数 因为)()arcsin(sin)sinarcsin()(arcsinsin)(xfxxxxf,所以此函数是 奇函数因为当 2 , 2 x 时,xx)arcsin(sin, 所以)arcsin(sin)(xxf在)( 2 , 2 Zkkk上单调增, 在)( 2 3 , 2 Zkkk上单调减 当)( 2 2Zkk
6、x时,)arcsin(sin)(xxf取得最大值 2 ; 当)( 2 2Zkkx时,)arcsin(sin)(xxf取得最大值 2 【例 7】解下列三角方程: (1) 6 sincos 2 xx; (2) 2 2sin5sin40xx; (3) 2 2sin5cos40xx; 【解析】 (1)由辅助角公式, 6 sincos2 sin() 42 xxx, 3 sin() 42 x 则2 43 xk或 2 2 43 xk,kZ 解得 7 2 12 xk或 11 2 12 xk,kZ (2) 2 2sin5sin4(sin4)(2sin1)0xxxx, 解得sin4x(舍)或 1 sin 2 x
7、解得2 6 xk或 5 2 6 xk,kZ (3) 222 2sin5cos42(1 cos)5cos42cos5cos20xxxxxx 即 2 2cos5cos20xx,解得cos2x(舍)或 1 cos 2 x 解得 2 2, 3 x xkkZ ; 【例 8】化简下列各式: (1) ) 6 5 arcsin(sin;(2) ) 2 1 sin(arccos;(3) ) 13 12 (cosarcsin 【解析】 (1)因为 2 , 2 6 5 ,而 2 , 2 6 ,且 6 5 sin 6 sin, 设a 6 5 sin 6 sin ,所以 6 arcsin) 6 arcsin(sin)
8、6 5 arcsin(sina (2)因为, 32 1 arccos所以 2 3 ) 3 sin() 2 1 sin(arccos (3)因为 13 5 ) 13 12 (1) 13 12 (cosarcsin 2 【例 9】求k的取值范围,使得关于x的方程0sinsin 2 kxx在, 2 2 上 (1)无解 ; (2)仅有一解 ; (3)有两解 【解析】 用分离参数的方法xxksinsin 2 , 只需要考虑k与函数xxysinsin2 的交点个数就是方程解的个数, 令 1 , 1,sintxt 则函数tty 2 ,画出二次函数tty 2 在 1 , 1t上的图像, 观察常值函数ky与二次
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- 18 第一轮 复习 讲义 三角 三角方程
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