高三第一轮复习讲义【7】-函数的奇偶性.pdf
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1、2018 届高三第一轮复习讲义【7】-函数的奇偶 一、知识梳理 1. 偶函数的定义: 如果对于函数)(xf的定义域内任意一个 x,都有fxfx ,那么 fx 就叫做 偶函数; 2. 奇函数的定义: 如果对于函数fx的定义域内任意一个x,都有fxfx,那么fx就叫 做奇函数; 【注意】 定义本身蕴涵着:函数的定义域必须是关于原点的对称区间,这是奇(偶)函数的必要 条件; “定义域内任一个” :意味着奇(偶)性是函数的整体性质而非局部性质 使用函数奇偶性的定义解题时,得到的是关于变量x的恒等式而不是方程. 3. 判断奇偶性的步骤: 【步骤】 看定义域是否是关于原点对称的区间(是的话就继续,不是就是
2、非奇非偶函数) 找 fx 与f x 之间的关系, 若fxfx,那么fx就叫做偶函数;若fxfx,那么fx就叫做 奇函数; 若两者都不成立,则 fx 就叫做非奇非偶函数;若两者都成立, 则 fx 既是奇函数又 是偶函数 . 4. 奇偶函数的图像 )(xf为奇函数)(xf图像关于原点对称; )(xf为偶函数)(xf图像关于 y轴对称 5. 根据规律判断函数的奇偶性: 偶函数 +偶函数 =偶函数;偶函数 +奇函数 =非奇非偶函数; (不含常值函数( )0f x) 奇函数 +奇函数 =奇函数;偶函数 偶函数 =偶函数; 奇函数 奇函数 =偶函数;偶函数 奇函数 =奇函数 6. 函数奇偶性的性质: 奇函
3、数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同; 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反 如果奇函数有反函数,那么其反函数一定还是奇函数; 若( )f x为偶函数,则()( )(|)fxf xfx; 若奇函数( )f x定义域中含有0,则必有(0)0f故(0)0f是( )f x为奇函数的既 不充分 也不必要条件; 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“ 一个奇函数与一个偶函数的 和(或差) ” ; 复合函数的奇偶性特点是:“ 内偶则偶,内奇同外” ; 既奇又偶函数有无穷多个(( )0f x,定义域是关于原点对称的任意一个数集) 二、基础检测: 1. 设
4、 2 ( )(0)f xaxbxc a, 则“0b” 是“( )yf x 是偶函数 ” 的答 A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C.充分必要条件D. 非充分非必要条件 2. 对于定义域是R 的任意奇函数( )yf x , 都有答 A. ( )()0f xfxB. ( )()0f xfx C. ( )()0f xfxD. ( )()0fxfx 3. 已知( )yf x 是定义域为R的奇函数 , 且( 1)2f, 那么(0)(1)ff_. 4. 给出下列六个函数: (1) 1 ( )(0)f xx x ; (2) 2 ( )1f xx ; (3) ( )2 x f x ; (4) 2( )
5、logf xx ; (5) 11 ( ) 312 x f x; (6) 22 ( )11f xxx, 其 中 偶 函 数 有 _, 奇 函 数 有 _, 非奇非偶函数有_, 既是奇函数又是偶函数的有_. 5. 设( )yf x 是任意一个定义域关于原点对称的函数, 则 1 ( )( )() 2 F xf xfx的奇偶性 是_, 1 ( )( )() 2 G xfxfx的奇偶性是 _. 6. 设奇函数( )f x的定义域为5, 5, 若当0, 5x时 , 函数的图像如右图, 则不等式 ()0f x的解集是 _. 三、例题精讲: 【例 1】判断下列函数的奇偶性: (1) x xxf 1 )( 3
6、;(2)44)( 22 xxxf;( 3) 23 ( ) 1 x fx x ; (4))1,0( 2 1 1 1 )(aa a xf x ; ( 5) x x xxf 1 1 ) 1()(; (6) 3|3| 4 )( 2 x x xf 2 O y 5 x 【参考答案】 解: (1)(,0)(0,)x, 定义域关于原点对称 3311 ()()( )fxxxf x xx ,故( )f x为奇函数; (2) 2,2x,( )0fx,故( )f x是既奇又偶的函数; (3)(, 1)( 1,)x,定义域关于原点不对称,故( )fx是非奇非偶的函数; (4)(,0)(0,)x, 定义域关于原点对称 1
7、111 () 12122(1) xx xxx aa fx aaa , 111 ( )() 122(1) x xx a fxfx aa 故( )f x在(,0)(0,)上为奇函数; (5) 1 0, 1,1) 1 x x x ,定义域关于原点不对称,故( )f x是非奇非偶的函数; ( 6 ) 2 40 2,0)(0,2 |3|30 x x x , 定 义 域 关 于 原 点 对 称 , 从 而 |3|3 =xx; 2 4 ( ) x f x x ,()( )fxf x故( )f x在 2,0)(0,2上为奇函数; 【例 2】 已知函数( )log (1)log (1) aa f xxx (01
8、)aa且, 试讨论)(xf的奇偶性; 【参考答案】 解: 10 ,( ) 10 x f x x 定义域为( 1,1)x, 1 ( )log 1 a x f x x , 11 ()loglog( ) 11 aa xx fxf x xx , 所以( )fx为奇函数 【例 3】设Ra, 22 ( )() 21 x x aa f xxR ,若函数)(xf是奇函数,则a的值为 【参考答案】 解:函数( )f x是奇函数, 且0x有意义, 故 0 0 22 (0)10 21 aa fa ,1a 【例 4】设)(xf是定义在R上的函数,当0x时,xxxf2)( 2 , 当)(xf为奇函数时,函数)(xf的解
9、析式是 ; 当)(xf为偶函数时,函数)(xf的解析式是 【参考答案】 解:当(,0)x时,(0,)x, 22 ()()2()2fxxxxx, 若( )f x是奇函数, 2 ( )()2f xfxxx,则 2 2 2 ,0 ( ) 2 ,0 xxx f x xxx 若( )f x是偶函数, 2 ( )()2f xfxxx,则 2 2 2 ,0 ( ) 2 ,0 xxx f x xxx 【例 5】设 b a xf x x 1 2 2 )((ba,为实常数) (1)当1ba时,证明:)(xf不是奇函数; (2)设)(xf是奇函数,求a与b的值; 【参考答案】 解: (1)举出反例即可 1 21 (
10、 ) 21 x x fx , 2 211 (1) 215 f , 1 1 1 2 ( 1) 24 f, 所以( 1)(1)ff,( )f x不是奇函数; ( 2)( )f x是奇函数时,()( )fxf x,即 11 22 22 xx xx aa bb 对定义域内任意实数 x成立 化简整理得 2 (2) 2(24) 2(2)0 xx ababab,这是关于x的恒等式, 所以, 20, 240 ab ab 所以 1 2 a b 或 1 2 a b 经检验都符合题意 【例 6】若定义在R上的函数)(xf,)(xg均为奇函数,设1)()()(xbgxafxF (1)若10)2(F,求)2(F的值;
11、(2)若)(xF在),0(上有最大值为4,求)(xF在)0,(上的最小值 【参考答案】 解: (1)由题意,( 2)( 2)( 2)1(2)(2)1Fafbgafb g; (2)(2)(2)11( 2)+18Fafb gF; (2)由题意,( )1( )( )F xafxbg x为奇函数 ( )F x在(0,)上有最大值为4,则函数( )1F x在(0,)上有最大值为3 当(0,)x时,( )13F x;当(,0)x时,( )13,( )2F xF x 故( )F x在(,0)上的最小值是 2 【例 7】根据下列条件, 求参数 a 的值 . (1) 已知 1 ( ) 21 x f xa 是奇函
12、数 , 求实数 a 的值 ; 解: 函数的定义域为, 关于原点对称 , 故(0)0f是( )f x 是奇函数的一个必要非充分条件, 由此解得 1 2 a; 当 1 2 a时, 1112 ( ) 2122(12 ) x xx f x, 任取 x, 1221 ()( ) 2(12)2(21) xx xx fxf x , 即此时( )f x 是奇函数 ; 综上所述 , 实数 a 的值为 1 2 . (2) 已知 1 ( ) 21 x f xa 是奇函数 , 求实数 a 的值 . 解: 函数的定义域为(,0)(0,) , 关于原点对称 , 故( 1)(1)ff是( )f x 是奇函数的一个必要非充分条
13、件, 由此解得 1 2 a; 当 1 2 a时 , 1121 ( ) 2122(21) x xx f x, 任取 x, 2121 ()( ) 2(21)2(12 ) xx xx fxf x , 即此时( )f x 是奇函数 ; 综上所述 , 实数 a 的值为 1 2 . 【例 8】根据下列条件, 求函数的解析式. (1) 已知( )yf x 是上的奇函数 , 且当0x时, 2 ( )1f xxx, 试求( )yf x 的解析式 . 解: 由( )f x是奇函数 , 且在 0 处有定义 , 则(0)0f; 当0x时, 0x, 则 22 ()()()11(0)fxxxxxx, 再由( )f x 是
14、奇函数 , 则有 2 ( )()( )1(0)f xfxf xxxx; 综上所述 , 2 2 1 0 ( )0 0 1 0 xxx f xx xxx . (2) 已 知 偶 函 数( )yf x与 奇 函 数( )yg x的 定 义 域 均 为, 且 对 任 意 x有 ( )( )442 xx f xg x, 分别求( )yf x 与( )yg x 的解析式 . 解: 任取 x, 则( )( )442 xx f xg x, 且()()442( )( )442 xxxx fxgxf xg x, 两式相加得2( )4( )2f xf x, 两式相减得 2 ( )2(44)( )44 xxxx g
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- 第一轮 复习 讲义 函数 奇偶性
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