高三第一轮复习讲义【14】-任意角及其三角比.pdf
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1、2018 届高三第一轮复习讲义【14】-任意角及其三角比 一、知识梳理 1. 任意角及其度量 角可以看作是平面内一条射线_ 所形 成的图形. 特别地 , 当一条射线没有旋转时, 我们也认为形成了一个角, 这个角叫做 _. 把等半径的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角 , 用符号rad 表示 , 读作弧度 . 并规定按 _方向旋转所形成的角为正角, 其度量值为正; 按_方向旋转所形成的角为 负角 , 其度量值为负 ; 零角的弧度数为0. 由弧度制的定义, 角度制与弧度制互化可通过关系式180来实现 . 半径为 r 的圆中 , 圆 心 角 为(02 ) 的 扇 形 的 弧 长l 满 足 l_, 对 应
2、 的 扇 形 的 面 积 为 S _. 2. 任意角的三角比 将角置于直角坐标系中, 顶点与原点重合, 始边与原点和x 轴正半轴重合, 则其 _ 就 称 其 为 第 几 象 限 的 角 ; 规 定 : 终 边 与 坐 标 轴 重 合 的 角 _. 将角置于直角坐标系中, 取终边上一点 00 (,)P xy, P到原点的距离为0r. 则有 : sin _, cos _ , tan() _ . 当角处于第 I,II 象限时 , 其正弦线 , 余弦线 , 正切线如下图所示: 如图所示 , 设角的终边与单位圆的交点为P, 过点 P作 PQ 垂直于 x 轴, 垂足为 Q. 过 点(1,0)A作直线垂直于
3、x 轴, 交角的终边 (或其反向延长线)于 T, 则称有向线段 _, _, _分别为角的正弦线 , 余弦线以及正切线. 有向线段的值由长度和符号两个部分组成, 其中当线段PQ和AT出现在x 轴上方时 , 规定其符号为正, 反之为负 ; 当线段 OQ 出现在 y 轴右侧时 , 规定其符号为正, 反之为负 . 由 此可知 , 角的三角比的值等于其三角函数线的值. O P Q(1,0)Ax T y O P Q(1,0)Ax y T 绕其端点从初始位置(始边 )旋转到终止位置(终边 ) 零角 逆时针 顺时针 r 211 22 rlr 终边落在第几象限 不属于任何象限 0 y r 0 x r 0 0 y
4、 x () 2 kk QP OQ AT 3. 同角三角比关系 (1) 平方关系 : 22 sincos1; _, _. (2) 商数关系 : sin tan cos ; _. (3) 倒数关系 :_; _; tancot1. 4. 诱导公式 诱导公式反映的是 () 2 k k与三角比的关系, (1)()kk的三角比 , 等于的同名三角比, 前面加上将看作锐角时原三角比的符 号; (2) 1 ()() 2 kk的三角比 , 等于的余名三角比 , 前面加上将看作锐角时原三角比 的符号 . 5. 两角和差公式 (1)sin()_; (2)cos( ) _; (3)tan()_(,_). 6. 辅助角
5、公式 设,a b, 且不全为零 , 则sincossin()abA, 其中A_, 由条件 cos sin a A b A 决定 . 7. 二倍角公式 (1) sin 2_; (2)cos2_; (3) tan 2_( ,2_). 8. 半角公式(选考) (1)sin _ 2 ;(2)cos _ 2 ; tan _ 2 ; 上述公式中的“ ” 均由 _终边的位置决定; 且正切的半角公式还可以用的正余弦表 述为 : tan _ 2 . 22 tan1sec 22 cot1csc cos cot sin sincsc1 cossec1 sincoscossin coscossinsin tantan
6、 1tantan () 2 kk 22 ab 2sincos 22 cossin 2 2cos1 2 12sin () 2 kk 2 2tan 1tan 2 1cos 2 1cos 2 1cos 1cos 1cos sin sin 1cos 二、基础检测 1. 终边在 x轴正半轴上的角的集合为_, 终边在 x轴上的角的集 合为_, 终边在坐标轴上的角的集合为 _, 终边在第一象限内的角的集合为 _. 2. 动点 P从(1,0)出发 , 沿单位圆 22 1xy按逆时针方向运动 2 3 弧长到达 Q点, 则点 Q 的 坐标为 _ _. 3. 若为第二象限角 , 则 22 2sectan 1tans
7、ec1 _. 4. 化下列各式为sin()(0,0)AxA的形式 : (1) 13 sincos 22 _; (2)cos3sin_. 5. 已知 1 sincos 222 , 则sin_. 6. 已知 2 tan() 3 , 1 tan() 44 , 则 tan() 4 _. 三、例题精讲 【例 1】判断下列命题的真假,并说明理由 (1)若0 , 2 , ,则是第一象限的角; (2)第一象限的角都是锐角; (3)若是第一象限的角,则 2 也必是第一象限的角; (4) 8 - 5 弧度的角与72的角是终边相同的角; (5)终边在x轴上的角的集合为,kkZ; (6)终边在x轴上方的角的集合为22
8、1,kkkZ. 【解析】 (1)假命题(2)假命题 (3)假命题 (4)真命题 (5)真命题 (6)真命题 【例 2】集合, 2442 kk Mx xkZNx xkZ,则() AMNBMNYC MNTDMN 【解析】 C 【例 3】已知角的终边经过点3 ,4,(0)Pkkk,求角的六个三角比的值. 【解析】 434355 ,cos, tan,cot,sec,csc 553434 sin 【例 4】若扇形的圆心角为 2 3 ,半径为5,则下列结论正确的是() A扇形的弧长为 5 3 ,面积为 50 3 ;B扇形的弧长为 10 3 ,面积为 50 3 ; C 扇形的弧长为 5 3 ,面积为 25
9、3 ;D扇形的弧长为 10 3 ,面积为 25 3 . 【解析】D 【例 5】函数 coscot sintan sincostancot xx xx y xxxx 的值域是. 【解析】2,0,4 【例 6】设tan3,求下列各式的值: (1) 3sin2cos 2sincos (2) 2 4sin3sincos(3) 3 32 5sincos 2cossincos 【解析】 (1) 11 5 (2) 9 2 (3) 125 11 【例 7】若sincos0,sintan0,化简 1sin1sin 22 1sin1sin 22 . 【解析】 2sec, 22 2sec, 22 是第一象限角 是第
10、三象限角 【例 8】已知为第二象限角,且 15 sin, 4 则 sin 4 sin 2cos21 【解析】 2 【例 9】 在等腰三角形ABC中,90C , 点ED、分别是BC的三等分点AEAD、, 分CAB 的角分别为、 、,求tantantan、的值 . 【解析】 131 tan=tan=tan= 3115 , 【例 10】证明恒等式:(1) 4222 sinsincoscos1 (2) 22 22 22 coscos sinsin cotcot (3) cos1sin 1 sincos xx xx C D E 【解析】(1)左边 = 2222 sinsincoscos 22 sinco
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